Exercício 7 Seja
, com
seu polinômio característico.
- Determine a dim V.
- Quais são as possibilidades para o polinômio minimal de T?
- Se
é diagonalizável, qual é o seu polinômio minimal?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre álgebra linear! A gente vai trabalhar com polinômios característicos e minimal de um operador linear. Precisamos entender conceitos como dimensão de um espaço vetorial, polinômio característico, polinômio minimal e o que significa um operador ser diagonalizável. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos determinar a dimensão de V. A dimensão de
é igual ao grau do polinômio característico de
. Olhando o polinômio
, o grau é a soma dos expoentes:
Então, a dimensão de
é 6.
Passo 3
Agora, vamos pensar nas possibilidades para o polinômio minimal de
. O polinômio minimal sempre divide o polinômio característico e tem os mesmos fatores lineares, mas com expoentes menores ou iguais aos do característico.
Para cada fator do polinômio característico:
-
: o minimal pode ter ou -
: o minimal pode ter , ou -
: como está com expoente 1, no minimal também será
Então, combinando as possibilidades:
Essas são todas as possibilidades para o polinômio minimal de
.
Passo 4
Por último, vamos ver se
é diagonalizável, qual é o seu polinômio minimal. Um operador é diagonalizável se o polinômio minimal tem apenas fatores lineares e cada fator aparece com expoente 1.
No nosso caso, isso significa que o minimal deve ser:
Portanto, se
é diagonalizável, o polinômio minimal de
é
.
Resposta
- A dimensão de
é 6. - As possibilidades para o polinômio minimal de
são: - Se
é diagonalizável, o polinômio minimal de é .