Exercício 7 Seja T: V V, com f(x)=(x-1)^2(x-4)^3(x+2) seu polinômio característico.
  1. Determine a dim V.
  2. Quais são as possibilidades para o polinômio minimal de T?
  3. Se T é diagonalizável, qual é o seu polinômio minimal?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre álgebra linear! A gente vai trabalhar com polinômios característicos e minimal de um operador linear. Precisamos entender conceitos como dimensão de um espaço vetorial, polinômio característico, polinômio minimal e o que significa um operador ser diagonalizável. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos determinar a dimensão de V. A dimensão de 2 + 3 + 1 = 6 é igual ao grau do polinômio característico de . Olhando o polinômio , o grau é a soma dos expoentes:
Então, a dimensão de é 6.

Passo 3

Agora, vamos pensar nas possibilidades para o polinômio minimal de . O polinômio minimal sempre divide o polinômio característico e tem os mesmos fatores lineares, mas com expoentes menores ou iguais aos do característico.
Para cada fator do polinômio característico:
  • : o minimal pode ter ou
  • : o minimal pode ter , ou
  • : como está com expoente 1, no minimal também será
Então, combinando as possibilidades:
Essas são todas as possibilidades para o polinômio minimal de .

Passo 4

Por último, vamos ver se (x-1)(x-4)(x+2) é diagonalizável, qual é o seu polinômio minimal. Um operador é diagonalizável se o polinômio minimal tem apenas fatores lineares e cada fator aparece com expoente 1.
No nosso caso, isso significa que o minimal deve ser:
Portanto, se é diagonalizável, o polinômio minimal de é .

Resposta

  1. A dimensão de (x-1)(x-4)(x+2) (x-1)(x-4)^2(x+2) (x-1)(x-4)^3(x+2) (x-1)^2(x-4)(x+2) (x-1)^2(x-4)^2(x+2) (x-1)^2(x-4)^3(x+2) é 6.
  2. As possibilidades para o polinômio minimal de são:
  3. Se é diagonalizável, o polinômio minimal de é .

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