(a) As matrizes
e
são simétricas,
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente mostrar que as matrizes
,
e
são simétricas. Isso está relacionado ao estudo de matrizes simétricas e transpostas. Pra resolver, vamos lembrar que uma matriz é simétrica se ela for igual à sua transposta, ou seja,
.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a matriz
. Sabemos que a transposta de um produto de matrizes é o produto das transpostas na ordem reversa. Então:
Como
, concluímos que
é simétrica.
Passo 3
Agora, vamos verificar a matriz
. A transposta de uma soma de matrizes é a soma das transpostas. Ou seja:
Como
, então
também é simétrica.
Passo 4
Por fim, vamos olhar para
. A transposta de um escalar múltiplo de uma matriz é o escalar múltiplo da transposta da matriz. Assim:
Já que já mostramos que
é simétrica, multiplicar por
não muda isso. Portanto,
também é simétrica.
Resposta
Todas as matrizes
,
e
são simétricas.