(a) As matrizes A A^T, A+A^T e 12(A+A^T) são simétricas,

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente mostrar que as matrizes , e são simétricas. Isso está relacionado ao estudo de matrizes simétricas e transpostas. Pra resolver, vamos lembrar que uma matriz é simétrica se ela for igual à sua transposta, ou seja, .

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a matriz (A A^T)^T = (A^T)^T A^T = A A^T . Sabemos que a transposta de um produto de matrizes é o produto das transpostas na ordem reversa. Então:
Como , concluímos que é simétrica.

Passo 3

Agora, vamos verificar a matriz (A + A^T)^T = A^T + (A^T)^T = A^T + A = A + A^T . A transposta de uma soma de matrizes é a soma das transpostas. Ou seja:
Como , então também é simétrica.

Passo 4

Por fim, vamos olhar para (12(A + A^T))^T = 12(A + A^T)^T = 12(A + A^T) . A transposta de um escalar múltiplo de uma matriz é o escalar múltiplo da transposta da matriz. Assim:
Já que já mostramos que é simétrica, multiplicar por não muda isso. Portanto, também é simétrica.

Resposta

Todas as matrizes , e são simétricas.

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