Sejam
um espaço vetorial real e
um operador linear. Suponhamos que
são tais que
. Mostre que
possui um autovalor se, e somente se,
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que essa questão está pedindo. Temos um espaço vetorial real
e um operador linear
. A equação que relaciona
é
, onde
e
são números reais e
é o operador identidade. A pergunta quer que a gente mostre que
tem pelo menos um autovalor se, e somente se,
. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são operadores lineares, autovalores e como relacioná-los com equações características.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um autovalor. Um autovalor de um operador linear
é um número real
tal que existe um vetor não nulo
em
onde
. Ou seja, aplicar
em
apenas o escala pelo fator
.
Passo 3
Agora, vamos considerar a equação dada:
. Isso significa que para qualquer vetor
em
, temos:
Simplificando:
Passo 4
Assumindo que
é um autovetor de
com autovalor
, então
. Vamos substituir isso na equação:
Então, a equação fica:
Fatorando
(que não é nulo):
Passo 5
Como
, para que essa equação seja verdadeira, o fator que multiplica
deve ser zero:
Essa é a equação característica do operador
. As soluções dessa equação são os autovalores de
.
Passo 6
A equação quadrática
terá soluções reais se e somente se o discriminante for maior ou igual a zero. O discriminante é dado por:
Então, para que existam soluções reais (autovalores reais), precisamos que:
Ou seja:
Resposta
Portanto, o operador linear
possui pelo menos um autovalor real se, e somente se,
.