Sejam V um espaço vetorial real e T: V V um operador linear. Suponhamos que b, c in R são tais que T^2+b T+c I=0. Mostre que T possui um autovalor se, e somente se, b^2 >= 4 c.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que essa questão está pedindo. Temos um espaço vetorial real V e um operador linear T: V V. A equação que relaciona T é T^2 + b T + c I = 0, onde b e c são números reais e I é o operador identidade. A pergunta quer que a gente mostre que T tem pelo menos um autovalor se, e somente se, b^2 >= 4c. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são operadores lineares, autovalores e como relacioná-los com equações características.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um autovalor. Um autovalor de um operador linear T é um número real lambda tal que existe um vetor não nulo v em V onde T(v) = lambda v. Ou seja, aplicar T em v apenas o escala pelo fator lambda.

Passo 3

Agora, vamos considerar a equação dada: T^2 + b T + c I = 0. Isso significa que para qualquer vetor v em V, temos:
T^2(v) + b T(v) + c I(v) = 0
Simplificando:
T(T(v)) + b T(v) + c v = 0

Passo 4

Assumindo que v é um autovetor de T com autovalor lambda, então T(v) = lambda v. Vamos substituir isso na equação:
T(T(v)) = T(lambda v) = lambda T(v) = lambda (lambda v) = lambda^2 v
Então, a equação fica:
lambda^2 v + b lambda v + c v = 0
Fatorando v (que não é nulo):
(lambda^2 + b lambda + c) v = 0

Passo 5

Como v neq 0, para que essa equação seja verdadeira, o fator que multiplica v deve ser zero:
lambda^2 + b lambda + c = 0
Essa é a equação característica do operador T. As soluções dessa equação são os autovalores de T.

Passo 6

A equação quadrática lambda^2 + b lambda + c = 0 terá soluções reais se e somente se o discriminante for maior ou igual a zero. O discriminante é dado por:
De
Então, para que existam soluções reais (autovalores reais), precisamos que:
b^2 - 4c >= 0
Ou seja:
b^2 >= 4c

Resposta

Portanto, o operador linear T possui pelo menos um autovalor real se, e somente se, b^2 >= 4c.

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