Considere V(x) = -x^3 + b x^2 + 2 definida para x > 0. Para quais valores de b a função V(x) tem um máximo?
(A) b = 2
(B) b < 0
© -1 < b < 1
(D) b > 0
(E) b = -2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir para quais valores de a função tem um máximo, considerando . Vamos usar cálculo, especificamente derivadas, para encontrar esses valores.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a derivada da função . A derivada nos ajuda a identificar os pontos onde a função pode ter máximos ou mínimos.

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos, ou seja, onde a derivada é igual a zero:
Podemos fatorar :
Isso nos dá duas soluções: e . Como , descartamos .

Passo 4

Para determinar se é um ponto de máximo, vamos usar a segunda derivada da função :

Passo 5

Agora, avaliamos a segunda derivada no ponto crítico :

Passo 6

Para que seja um ponto de máximo, a segunda derivada deve ser negativa:

Resposta

A função tem um máximo quando . Portanto, a resposta correta é a opção (D) .

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