Calcule
  1. integral tg(5 x) d x

Passo 1

Então, a gente precisa calcular a integral de tg(5x) em relação a x, ou seja, integral tg(5x) , dx. Isso envolve conceitos de cálculo de integrais, especialmente usando substituição.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a tangente pode ser escrita como seno sobre cosseno. Então, temos:
integral tg(5x) , dx = integral sin(5x)cos(5x) , dx

Passo 3

Agora, vamos usar uma técnica chamada substituição. Vamos deixar u = cos(5x). Assim, precisamos encontrar a derivada de u em relação a x:
dudx = -5 sin(5x)
Isso significa que:
du = -5 sin(5x) , dx

Passo 4

A gente quer substituir sin(5x) , dx na integral. Então, isolando sin(5x) , dx da equação acima:
sin(5x) , dx = -15 du

Passo 5

Substituindo na integral original, ficamos com:
integral sin(5x)cos(5x) , dx = integral -15 , duu = -15 integral 1u , du

Passo 6

A integral de 1u , du é ln|u|. Então, temos:
-15 ln|u| + C
onde C é a constante de integração.

Passo 7

Finalmente, voltando à variável original x, lembramos que u = cos(5x). Substituindo de volta:
-15 ln|cos(5x)| + C

Resposta

A integral é igual a $ -\frac{1}{5} \ln |\cos(5x)| + C$.

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