Considere (o interior de um círculo de raio 1 com centro na origem). Considere em as operações usuais do . Verifique se é espaço vetorial com estas operações.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado fala sobre o conjunto , que é basicamente o interior de um círculo de raio 1 com centro na origem. A gente precisa verificar se esse conjunto é um espaço vetorial quando usamos as operações padrão de adição e multiplicação por escalar que a gente conhece no . Para isso, vamos precisar revisar os axiomas que definem um espaço vetorial e ver se os satisfaz.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial sobre um campo (como os números reais) é um conjunto de vetores que, além de ter operações de adição e multiplicação por escalar, satisfaz certos axiomas, como existência do vetor zero, existência de inversos, distributividade, etc.

Passo 3

O primeiro axioma que vamos verificar é se é fechado sob adição. Ou seja, se a gente pegar dois vetores quaisquer em e somar eles, o resultado também deve estar em .
Vamos pensar: se pegarmos e , que estão em porque , e somarmos, temos . Agora, , que não é menor ou igual a 1. Ou seja, não está em . Isso já mostra que não é fechado sob adição.

Passo 4

Como já encontramos que não é fechado sob adição, isso significa que ele não satisfaz todos os axiomas de um espaço vetorial. Não precisa nem verificar os outros axiomas, porque já falhou um deles.

Resposta

Portanto, o conjunto não é um espaço vetorial com as operações usuais do .

Exercícios relacionados

Se possível, resolva a equação matricial: , onde é uma coluna e:
Sendo e definidos por e , determinar .
Encontre a inversa de cada matriz abaixo:
d.
Sejam e matrizes que satisfazem o seguinte: . Considere as seguintes afirmações:
(I) é inversível;
(II) é inversível;
(III) .
Quais delas são verdadeiras?
a. Somente .