Considere
(o interior de um círculo de raio 1 com centro na origem). Considere em
as operações usuais do
. Verifique se
é espaço vetorial com estas operações.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado fala sobre o conjunto
, que é basicamente o interior de um círculo de raio 1 com centro na origem. A gente precisa verificar se esse conjunto
é um espaço vetorial quando usamos as operações padrão de adição e multiplicação por escalar que a gente conhece no
. Para isso, vamos precisar revisar os axiomas que definem um espaço vetorial e ver se
os satisfaz.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial sobre um campo (como os números reais) é um conjunto de vetores que, além de ter operações de adição e multiplicação por escalar, satisfaz certos axiomas, como existência do vetor zero, existência de inversos, distributividade, etc.
Passo 3
O primeiro axioma que vamos verificar é se
é fechado sob adição. Ou seja, se a gente pegar dois vetores quaisquer em
e somar eles, o resultado também deve estar em
.
Vamos pensar: se pegarmos
e
, que estão em
porque
, e somarmos, temos
. Agora,
, que não é menor ou igual a 1. Ou seja,
não está em
. Isso já mostra que
não é fechado sob adição.
Passo 4
Como já encontramos que
não é fechado sob adição, isso significa que ele não satisfaz todos os axiomas de um espaço vetorial. Não precisa nem verificar os outros axiomas, porque já falhou um deles.
Resposta
Portanto, o conjunto
não é um espaço vetorial com as operações usuais do
.