Sejam A e B matrizes N times N que satisfazem o seguinte: A+B=A B. Considere as seguintes afirmações:
(I) IN-B é inversível;
(II) IN-A é inversível;
(III) A B=B A.
Quais delas são verdadeiras?
a. Somente I.

Passo 1

Então, vamos lá! O exercício fala sobre duas matrizes quadradas e de ordem que satisfazem a relação . Nosso objetivo é verificar quais das seguintes afirmações são verdadeiras:
I. é inversível;
II. é inversível;
III. .
Para resolver isso, vamos precisar entender os conceitos de matrizes inversíveis e comutatividade de matrizes, além de manipular a equação dada .

Passo 2

Primeiro, vamos trabalhar com a equação AB - A - B = 0 . Queremos isolar A(B - IN) - B = 0 ou A(B - IN) = B para descobrir mais sobre elas. Vamos reorganizar a equação:
A + B = AB implies A + B - AB = 0 implies A(IN - B) + B = 0
Agora, fatoramos na primeira e segunda termos:
Adicionando em ambos os lados:
Agora, podemos fatorar . Mas antes disso, vamos reescrever a equação original de uma maneira mais útil:

Passo 3

Agora, vamos manipular a equação para expressar uma matriz em termos da outra. Reorganizando:
A(IN - B) = -B
Multiplicando ambos os lados por A(IN - B) = B :
A = B (IN - B)^-1
Isso sugere que está relacionado com a inversibilidade. Se for invertível, então podemos multiplicar ambos os lados da equação por :
Isso mostra que está expressa em termos de e o inverso de , o que indica que deve ser inversível para que exista dessa forma. Portanto, a afirmação I é verdadeira.

Passo 4

Agora, vamos investigar a afirmação II: A = B (IN - B)^-1 é inversível.
Usando a relação que encontramos:
IN - A = IN - B (IN - B)^-1
Podemos substituir (IN - B)(IN - A) = (IN - B) - B = IN - 2B na equação :
Para simplificar, vamos multiplicar pelo inverso:
Se e são inversíveis, então essa relação também indica que é inversível. Portanto, a afirmação II também é verdadeira.

Passo 5

Finalmente, vamos verificar a afirmação III: AB = B (IN - B)^-1 B .
Sabemos que BA = B B (IN - B)^-1 . Vamos calcular e :
Se comuta com , então . Como e são matrizes que comutam, seu inverso também comuta com . Portanto, , e a afirmação III é verdadeira.

Resposta

Todas as afirmações I, II e III são verdadeiras.

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