Sejam
e
matrizes
que satisfazem o seguinte:
. Considere as seguintes afirmações:
(I)
é inversível;
(II)
é inversível;
(III)
.
Quais delas são verdadeiras?
a. Somente
.
(I)
(II)
(III)
Quais delas são verdadeiras?
a. Somente
Passo 1
Então, vamos lá! O exercício fala sobre duas matrizes quadradas
e
de ordem
que satisfazem a relação
. Nosso objetivo é verificar quais das seguintes afirmações são verdadeiras:
I.
é inversível;
II.
é inversível;
III.
.
Para resolver isso, vamos precisar entender os conceitos de matrizes inversíveis e comutatividade de matrizes, além de manipular a equação dada
.
Passo 2
Primeiro, vamos trabalhar com a equação
. Queremos isolar
ou
para descobrir mais sobre elas. Vamos reorganizar a equação:
Agora, fatoramos
na primeira e segunda termos:
Adicionando
em ambos os lados:
Agora, podemos fatorar
. Mas antes disso, vamos reescrever a equação original de uma maneira mais útil:
Passo 3
Agora, vamos manipular a equação para expressar uma matriz em termos da outra. Reorganizando:
Multiplicando ambos os lados por
:
Isso sugere que
está relacionado com a inversibilidade. Se
for invertível, então podemos multiplicar ambos os lados da equação por
:
Isso mostra que
está expressa em termos de
e o inverso de
, o que indica que
deve ser inversível para que
exista dessa forma. Portanto, a afirmação I é verdadeira.
Passo 4
Agora, vamos investigar a afirmação II:
é inversível.
Usando a relação que encontramos:
Podemos substituir
na equação
:
Para simplificar, vamos multiplicar
pelo inverso:
Se
e
são inversíveis, então essa relação também indica que
é inversível. Portanto, a afirmação II também é verdadeira.
Passo 5
Finalmente, vamos verificar a afirmação III:
.
Sabemos que
. Vamos calcular
e
:
Se
comuta com
, então
. Como
e
são matrizes que comutam, seu inverso também comuta com
. Portanto,
, e a afirmação III é verdadeira.
Resposta
Todas as afirmações I, II e III são verdadeiras.