Sejam e matrizes que satisfazem o seguinte: . Considere as seguintes afirmações:
(I) é inversível;
(II) é inversível;
(III) .
Quais delas são verdadeiras?
a. Somente .
Passo 1
Então, vamos lá! O exercício fala sobre duas matrizes quadradas e de ordem que satisfazem a relação . Nosso objetivo é verificar quais das seguintes afirmações são verdadeiras:
I. é inversível;
II. é inversível;
III. .
Para resolver isso, vamos precisar entender os conceitos de matrizes inversíveis e comutatividade de matrizes, além de manipular a equação dada .
Passo 2
Primeiro, vamos trabalhar com a equação . Queremos isolar ou para descobrir mais sobre elas. Vamos reorganizar a equação:
Agora, fatoramos na primeira e segunda termos:
Adicionando em ambos os lados:
Agora, podemos fatorar . Mas antes disso, vamos reescrever a equação original de uma maneira mais útil:
Passo 3
Agora, vamos manipular a equação para expressar uma matriz em termos da outra. Reorganizando:
Multiplicando ambos os lados por :
Isso sugere que está relacionado com a inversibilidade. Se for invertível, então podemos multiplicar ambos os lados da equação por :
Isso mostra que está expressa em termos de e o inverso de , o que indica que deve ser inversível para que exista dessa forma. Portanto, a afirmação I é verdadeira.
Passo 4
Agora, vamos investigar a afirmação II: é inversível.
Usando a relação que encontramos:
Podemos substituir na equação :
Para simplificar, vamos multiplicar pelo inverso:
Se e são inversíveis, então essa relação também indica que é inversível. Portanto, a afirmação II também é verdadeira.
Passo 5
Finalmente, vamos verificar a afirmação III: .
Sabemos que . Vamos calcular e :
Se comuta com , então . Como e são matrizes que comutam, seu inverso também comuta com . Portanto, , e a afirmação III é verdadeira.