Considere a variável aleatória (X, Y) com fdp f(x, y)=x+y, com 0 e 0. Calcule rho(X, Y).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos apresenta uma variável aleatória com a função de densidade conjunta , definida no intervalo e . Nosso objetivo é calcular o coeficiente de correlação . Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de função de densidade conjunta, cálculo de expectativas ( , , etc.), variâncias e covariância.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se integral0^1 integral0^1 (x + y) , dx , dy = 1 é realmente uma função de densidade conjunta válida. Para isso, precisamos que a integral dupla de integral0^1 ( integral0^1 x , dx + integral0^1 y , dx ) dy = integral0^1 ( 12 + y ) dy = 12 + 12 = 1 sobre todo o espaço seja igual a 1.
Vamos calcular isso:
Está tudo certo, a função é válida.

Passo 3

Agora, vamos calcular as expectativas E[X] = integral0^1 integral0^1 x cdot (x + y) , dx , dy e integral0^1 x(x + y) , dx = integral0^1 x^2 + xy , dx = [ x^33 + x^2 y2 ]0^1 = 13 + y2 .
E[X] = integral0^1 ( 13 + y2 ) dy = 13 cdot 1 + 12 cdot 12 = 13 + 14 = 712
Vamos resolver a integral interna primeiro:
E[Y] = integral0^1 integral0^1 y cdot (x + y) , dx , dy = integral0^1 ( y2 + y^22 ) dy = 14 + 16 = 512
Agora, integraremos em relação a :
De forma semelhante, calculamos :

Passo 4

Em seguida, vamos calcular as variâncias E[X^2] = integral0^1 integral0^1 x^2 cdot (x + y) , dx , dy = integral0^1 ( x^44 + x^3 y3 )0^1 dy = integral0^1 ( 14 + y3 ) dy = 14 + 16 = 512 e Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2 = 512 - (712)^2 = 512 - 49144 = 60 - 49144 = 11144 . Para isso, precisamos de E[Y^2] = integral0^1 integral0^1 y^2 cdot (x + y) , dx , dy = integral0^1 ( y^22 + y^33 ) dy = 16 + 112 = 14 e Var(Y) = E[Y^2] - (E[Y])^2 = 14 - (512)^2 = 14 - 25144 = 36 - 25144 = 11144 .
Primeiro, :
Então,
Agora, :
E,

Passo 5

Agora, precisamos calcular a covariância Cov(X, Y) = E[XY] - E[X]E[Y] . A fórmula é:
E[XY] = integral0^1 integral0^1 xy cdot (x + y) , dx , dy = integral0^1 integral0^1 (x^2 y + x y^2) , dx , dy
Primeiro, vamos encontrar integral0^1 x^2 y , dx = y cdot x^33 |0^1 = y3 :
integral0^1 x y^2 , dx = y^2 cdot x^22 |0^1 = y^22
Resolvendo a integral interna:
E[XY] = integral0^1 ( y3 + y^22 ) dy = 16 + 16 = 13
Cov(X, Y) = 13 - 712 cdot 512 = 13 - 35144 = 48 - 35144 = 13144
Somando:
Então,

Resposta

O coeficiente de correlação entre rho(X, Y) = Cov(X, Y)raizVar(X) cdot raizVar(Y) = 13144raiz11144 cdot raiz11144 = 1314411144 = 1311 approx 1,18 e é:

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