Considere a variável aleatória com fdp , com e . Calcule .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos apresenta uma variável aleatória com a função de densidade conjunta , definida no intervalo e . Nosso objetivo é calcular o coeficiente de correlação . Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de função de densidade conjunta, cálculo de expectativas (, , etc.), variâncias e covariância.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se é realmente uma função de densidade conjunta válida. Para isso, precisamos que a integral dupla de sobre todo o espaço seja igual a 1.
Vamos calcular isso:
Está tudo certo, a função é válida.
Passo 3
Agora, vamos calcular as expectativas e .
Vamos resolver a integral interna primeiro:
Agora, integraremos em relação a :
De forma semelhante, calculamos :
Passo 4
Em seguida, vamos calcular as variâncias e . Para isso, precisamos de e .
Primeiro, :
Então,
Agora, :
E,
Passo 5
Agora, precisamos calcular a covariância . A fórmula é: