Considere a variável aleatória com fdp , com e . Calcule .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos apresenta uma variável aleatória com a função de densidade conjunta , definida no intervalo e . Nosso objetivo é calcular o coeficiente de correlação . Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de função de densidade conjunta, cálculo de expectativas ( , , etc.), variâncias e covariância.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se é realmente uma função de densidade conjunta válida. Para isso, precisamos que a integral dupla de sobre todo o espaço seja igual a 1.
Vamos calcular isso:
Está tudo certo, a função é válida.

Passo 3

Agora, vamos calcular as expectativas e .
Vamos resolver a integral interna primeiro:
Agora, integraremos em relação a :
De forma semelhante, calculamos :

Passo 4

Em seguida, vamos calcular as variâncias e . Para isso, precisamos de e .
Primeiro, :
Então,
Agora, :
E,

Passo 5

Agora, precisamos calcular a covariância . A fórmula é:
Primeiro, vamos encontrar :
Resolvendo a integral interna:
Somando:
Então,

Resposta

O coeficiente de correlação entre e é:

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