Prove que a média aritmética barx de uma lista de n números satisfaz m <= barx <= M, onde m e M são, respectivamente, o menor e o maior dos números.

Passo 1

Vamos resolver o problema que pede para provar que a média aritmética barx de uma lista de n números está sempre entre o menor número m e o maior número M da lista. Isso envolve conceitos de média aritmética e propriedades de desigualdades.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a média aritmética é calculada somando todos os números e dividindo pela quantidade deles. Matematicamente, temos:
barx = x1 + x2 + dots + xnn
Onde x1, x2, dots, xn são os números da lista.

Passo 3

Sabemos que m é o menor número da lista, então cada número xi é maior ou igual a m. Ou seja:
m <= xi para todo i

Passo 4

Somando todas essas desigualdades, temos:
m + m + dots + m <= x1 + x2 + dots + xn
Como há n termos de m, isso fica:
n cdot m <= x1 + x2 + dots + xn

Passo 5

Dividindo ambos os lados da desigualdade por n, obtemos:
m <= x1 + x2 + dots + xnn = barx
Então, barx >= m.

Passo 6

De forma semelhante, já que M é o maior número da lista, cada xi é menor ou igual a M. Assim:
xi <= M para todo i

Passo 7

Somando todas essas desigualdades, temos:
x1 + x2 + dots + xn <= M + M + dots + M
Como há n termos de M, isso fica:
x1 + x2 + dots + xn <= n cdot M

Passo 8

Dividindo ambos os lados da desigualdade por n, obtemos:
x1 + x2 + dots + xnn = barx <= M
Então, barx <= M.

Resposta

Portanto, a média aritmética barx satisfaz m <= barx <= M.

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