Prove que a média aritmética de uma lista de números satisfaz , onde e são, respectivamente, o menor e o maior dos números.

Passo 1

Vamos resolver o problema que pede para provar que a média aritmética de uma lista de números está sempre entre o menor número e o maior número da lista. Isso envolve conceitos de média aritmética e propriedades de desigualdades.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a média aritmética é calculada somando todos os números e dividindo pela quantidade deles. Matematicamente, temos:
Onde são os números da lista.

Passo 3

Sabemos que é o menor número da lista, então cada número é maior ou igual a . Ou seja:

Passo 4

Somando todas essas desigualdades, temos:
Como há termos de , isso fica:

Passo 5

Dividindo ambos os lados da desigualdade por , obtemos:
Então, .

Passo 6

De forma semelhante, já que é o maior número da lista, cada é menor ou igual a . Assim:

Passo 7

Somando todas essas desigualdades, temos:
Como há termos de , isso fica:

Passo 8

Dividindo ambos os lados da desigualdade por , obtemos:
Então, .

Resposta

Portanto, a média aritmética satisfaz .

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