Prove que a média aritmética
de uma lista de
números satisfaz
, onde
e
são, respectivamente, o menor e o maior dos números.
Passo 1
Vamos resolver o problema que pede para provar que a média aritmética
de uma lista de
números está sempre entre o menor número
e o maior número
da lista. Isso envolve conceitos de média aritmética e propriedades de desigualdades.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a média aritmética é calculada somando todos os números e dividindo pela quantidade deles. Matematicamente, temos:
Onde
são os números da lista.
Passo 3
Sabemos que
é o menor número da lista, então cada número
é maior ou igual a
. Ou seja:
Passo 4
Somando todas essas desigualdades, temos:
Como há
termos de
, isso fica:
Passo 5
Dividindo ambos os lados da desigualdade por
, obtemos:
Então,
.
Passo 6
De forma semelhante, já que
é o maior número da lista, cada
é menor ou igual a
. Assim:
Passo 7
Somando todas essas desigualdades, temos:
Como há
termos de
, isso fica:
Passo 8
Dividindo ambos os lados da desigualdade por
, obtemos:
Então,
.
Resposta
Portanto, a média aritmética
satisfaz
.
Exercícios relacionados
Em um grupo de pessoas há 30 homens e 10 mulheres. Os homens têm altura média de
e, as mulheres, de
. Qual a altura média do grupo?
A média aritmética de 50 números é 40 . Se dois desses números 125 e 75 , forem suprimidos, qual será a média aritmética dos números restantes.
Prove que, para dois números positivos
e
, suas médias aritmética
, geométrica
, harmônica
e quadrática
, satisfazem
. Prove também que duas quaisquer dessas médias são iguais se, e somente se,
.
Considere a variável aleatória
com fdp
, com
e
. Calcule
.