Suponha que as variáveis aleatórias
e
tenham função densidade de probabilidade conjunta
.
Calcule as fdp marginais de
e
.
Calcule as fdp marginais de
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular as funções de densidade marginais de
e
a partir da função de densidade conjunta
quando
e
. Para isso, vamos precisar entender como obter as densidades marginais a partir da densidade conjunta usando integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são as funções de densidade marginais. A função de densidade marginal de
, denotada por
, é obtida integrando a função de densidade conjunta
em relação a
. Ou seja:
Passo 3
Vamos calcular
:
Podemos simplificar a expressão dentro da integral:
Sabemos que a integral de
de 0 a infinito é 1, porque é a integral da função densidade de uma distribuição exponencial com parâmetro 1.
Passo 4
Agora, vamos calcular a função de densidade marginal de
,
, que é obtida integrando a função de densidade conjunta
em relação a
:
Passo 5
Vamos calcular
:
Simplificando a expressão dentro da integral:
Novamente, a integral de
de 0 a infinito é 1.
Resposta
As funções de densidade marginais são:
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Qual é o número mínimo de pessoas que deve haver em um grupo para que possamos garantir que nele há pelo menos 7 pessoas nascidas no mesmo mês?
Considere a variável aleatória
com fdp
, com
e
. Calcule
.
Suponha que as variáveis aleatórias
e
tenham função densidade de probabilidade conjunta
.
Calcule .
Calcule
Suponha que as variáveis aleatórias
e
tenham função densidade de probabilidade conjunta
.
Calcule .
Calcule