Suponha que as variáveis aleatórias X e Y tenham função densidade de probabilidade conjunta f(x, y)= e^-(x+y) I(x>0, y>0).
Calcule as fdp marginais de X e Y.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular as funções de densidade marginais de e a partir da função de densidade conjunta quando e . Para isso, vamos precisar entender como obter as densidades marginais a partir da densidade conjunta usando integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são as funções de densidade marginais. A função de densidade marginal de fX(x) = integral0^infty f(x, y) , dy , denotada por , é obtida integrando a função de densidade conjunta em relação a . Ou seja:

Passo 3

Vamos calcular fX(x) = integral0^infty e^-(x + y) , dy :
fX(x) = e^-x integral0^infty e^-y , dy
Podemos simplificar a expressão dentro da integral:
fX(x) = e^-x cdot 1 = e^-x
Sabemos que a integral de de 0 a infinito é 1, porque é a integral da função densidade de uma distribuição exponencial com parâmetro 1.

Passo 4

Agora, vamos calcular a função de densidade marginal de fY(y) = integral0^infty f(x, y) , dx , , que é obtida integrando a função de densidade conjunta em relação a :

Passo 5

Vamos calcular fY(y) = integral0^infty e^-(x + y) , dx :
fY(y) = e^-y integral0^infty e^-x , dx
Simplificando a expressão dentro da integral:
fY(y) = e^-y cdot 1 = e^-y
Novamente, a integral de de 0 a infinito é 1.

Resposta

As funções de densidade marginais são:
fX(x) = e^-x para x > 0
fY(y) = e^-y para y > 0

Exercícios relacionados