Prove que, para dois números positivos
e
, suas médias aritmética
, geométrica
, harmônica
e quadrática
, satisfazem
. Prove também que duas quaisquer dessas médias são iguais se, e somente se,
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para a gente provar umas relações entre diferentes médias de dois números positivos,
e
. A matéria que estamos usando aqui é sobre medidas de tendência central, especificamente as médias aritmética, geométrica, harmônica e quadrática. Para resolver, vamos precisar entender como cada uma dessas médias é calculada e usar algumas propriedades básicas de desigualdades matemáticas.
Passo 2
Primeiro, vamos definir cada uma das médias que estamos trabalhando:
-
Média Aritmética (A):É simplesmente a soma dos dois números dividida por 2.
-
Média Geométrica (G):É a raiz quadrada do produto dos dois números.
-
Média Harmônica (H):É calculada multiplicando os dois números, multiplicando por 2 e dividindo pela soma deles.
-
Média Quadrática (Q):Também conhecida como raiz quadrada da média dos quadrados dos números.
Passo 3
Vamos começar provando que
.
Uma maneira de provar isso é usar a desigualdade harmônica-geométrica. Sabemos que para dois números positivos, a média harmônica é sempre menor ou igual à média geométrica. Portanto:
Isto é verdade porque:
Quando reorganizamos essa inequação e simplificamos, ela sempre se mantém verdadeira para
.
Passo 4
Agora, vamos provar que
.
Aqui, usamos a desigualdade geométrica-aritmética (AM-GM), que afirma que a média geométrica de dois números é sempre menor ou igual à sua média aritmética:
Ou seja:
Essa desigualdade também é sempre válida para
.
Passo 5
Seguimos para
.
Para provar isso, utilizamos a desigualdade aritmética-quadrática (AM-QM). Ela diz que a média aritmética é sempre menor ou igual à média quadrática:
Isso significa:
Novamente, essa desigualdade é válida para quaisquer
.
Passo 6
Agora, precisamos mostrar que se duas dessas médias forem iguais, então
, e só nesse caso.
Vamos ver cada par de médias:
-
Se
: Resolver essa equação nos leva a. -
Se
: Isso só acontece quando. -
Se
: Resolvendo, também chegamos a.
Portanto, duas quaisquer dessas médias são iguais se e somente se
.
Resposta
Comprovamos que, para dois números positivos
e
, as médias satisfazem
. Além disso, duas quaisquer dessas médias são iguais se, e somente se,
.
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de uma lista de
números satisfaz
, onde
e
são, respectivamente, o menor e o maior dos números.
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e, as mulheres, de
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com fdp
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.
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