Prove que, para dois números positivos e , suas médias aritmética , geométrica , harmônica e quadrática , satisfazem . Prove também que duas quaisquer dessas médias são iguais se, e somente se, .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para a gente provar umas relações entre diferentes médias de dois números positivos, e . A matéria que estamos usando aqui é sobre medidas de tendência central, especificamente as médias aritmética, geométrica, harmônica e quadrática. Para resolver, vamos precisar entender como cada uma dessas médias é calculada e usar algumas propriedades básicas de desigualdades matemáticas.

Passo 2

Primeiro, vamos definir cada uma das médias que estamos trabalhando:
  • Média Aritmética (A):
    É simplesmente a soma dos dois números dividida por 2.
  • Média Geométrica (G):
    É a raiz quadrada do produto dos dois números.
  • Média Harmônica (H):
    É calculada multiplicando os dois números, multiplicando por 2 e dividindo pela soma deles.
  • Média Quadrática (Q):
    Também conhecida como raiz quadrada da média dos quadrados dos números.

Passo 3

Vamos começar provando que .
Uma maneira de provar isso é usar a desigualdade harmônica-geométrica. Sabemos que para dois números positivos, a média harmônica é sempre menor ou igual à média geométrica. Portanto:
Isto é verdade porque:
Quando reorganizamos essa inequação e simplificamos, ela sempre se mantém verdadeira para .

Passo 4

Agora, vamos provar que .
Aqui, usamos a desigualdade geométrica-aritmética (AM-GM), que afirma que a média geométrica de dois números é sempre menor ou igual à sua média aritmética:
Ou seja:
Essa desigualdade também é sempre válida para .

Passo 5

Seguimos para .
Para provar isso, utilizamos a desigualdade aritmética-quadrática (AM-QM). Ela diz que a média aritmética é sempre menor ou igual à média quadrática:
Isso significa:
Novamente, essa desigualdade é válida para quaisquer .

Passo 6

Agora, precisamos mostrar que se duas dessas médias forem iguais, então , e só nesse caso.
Vamos ver cada par de médias:
  • Se :
    Resolver essa equação nos leva a .
  • Se :
    Isso só acontece quando .
  • Se :
    Resolvendo, também chegamos a .
Portanto, duas quaisquer dessas médias são iguais se e somente se .

Resposta

Comprovamos que, para dois números positivos e , as médias satisfazem . Além disso, duas quaisquer dessas médias são iguais se, e somente se, .

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