Qual é o número mínimo de pessoas que deve haver em um grupo para que possamos garantir que nele há pelo menos 7 pessoas nascidas no mesmo mês?

Passo 1

O problema pede para encontrar o número mínimo de pessoas em um grupo para garantir que pelo menos 7 delas nasceram no mesmo mês. Vamos usar o Princípio da Casa dos Pombos (também conhecido como Princípio de Dirichlet) para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, identificamos os “pombos” e as “casas” no nosso problema. Aqui, as “casas” são os 12 meses do ano em que uma pessoa pode nascer, e os “pombos” são as pessoas no grupo.

Passo 3

Queremos garantir que pelo menos 7 pessoas (pombos) nasçam no mesmo mês (casa). O Princípio da Casa dos Pombos nos diz que se distribuirmos mais pombos do que o produto do número de casas pelo máximo que queremos por casa, então pelo menos uma casa terá esse máximo.

Passo 4

Calculamos o número mínimo de pessoas necessário. Se cada mês pudesse ter até 6 pessoas (já que queremos mais de 6 para garantir 7 no mesmo), teríamos:
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Passo 5

Para garantir que pelo menos 7 pessoas estejam no mesmo mês, adicionamos uma pessoa a esse total:

Resposta

Portanto, o número mínimo de pessoas necessário é 73.

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Suponha que as variáveis aleatórias e tenham função densidade de probabilidade conjunta .
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Calcule .