A satisfação da população em relação a determinado governo foi pesquisada através de uma amostra com a opinião de 1000 habitantes do estado. Destes, 585 se declararam insatisfeitas com a administração estadual. Admitindo-se um nivel de significância de
, solucione os itens abaixo.
Qual o tamanho da amostra necessária para a estimação se a empresa responsável pela pesquisa estipulou uma folga máxima de
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Qual o tamanho da amostra necessária para a estimação se a empresa responsável pela pesquisa estipulou uma folga máxima de
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O problema fala sobre como determinar o tamanho ideal da amostra para estimar a satisfação da população em relação a um governo. A gente vai usar conceitos de Estatística, especificamente sobre estimação de proporções. Para isso, vamos precisar entender a proporção que já temos na amostra, o nível de confiança (neste caso, 95%, já que o nível de significância é de 5%) e a margem de erro que a empresa estipulou, que é de 2,5%.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os dados que temos:
- Tamanho da amostra inicial: 1000 habitantes
- Número de insatisfeitos: 585
- Nível de significância: 5% (o que corresponde a um nível de confiança de 95%)
- Margem de erro desejada: 2,5%
Passo 3
Vamos calcular a proporção de pessoas insatisfeitas na amostra inicial. Isso é feito dividindo o número de insatisfeitos pelo tamanho total da amostra:
Passo 4
Agora, precisamos encontrar o valor crítico z correspondente ao nível de confiança de 95%. Esse valor é padrão em tabelas estatísticas e é aproximadamente:
Passo 5
A fórmula para calcular o tamanho da amostra necessário é:
Onde:
- $ n $ é o tamanho da amostra
- $ z $ é o valor crítico
- $ \hat{p} $ é a proporção estimada
- $ E $ é a margem de erro
Passo 6
Vamos substituir os valores na fórmula:
Passo 7
Calculando passo a passo:
Passo 8
Agora multiplicamos e dividimos:
Passo 9
Como não podemos ter uma fração de pessoa na amostra, arredondamos para cima:
Resposta
O tamanho da amostra necessário para a estimação, com uma margem de erro máxima de 2,5%, é de 1.489 habitantes.