A satisfação da população em relação a determinado governo foi pesquisada através de uma amostra com a opinião de 1000 habitantes do estado. Destes, 585 se declararam insatisfeitas com a administração estadual. Admitindo-se um nivel de significância de 5 %, solucione os itens abaixo.
Qual o tamanho da amostra necessária para a estimação se a empresa responsável pela pesquisa estipulou uma folga máxima de 2,5 % ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O problema fala sobre como determinar o tamanho ideal da amostra para estimar a satisfação da população em relação a um governo. A gente vai usar conceitos de Estatística, especificamente sobre estimação de proporções. Para isso, vamos precisar entender a proporção que já temos na amostra, o nível de confiança (neste caso, 95%, já que o nível de significância é de 5%) e a margem de erro que a empresa estipulou, que é de 2,5%.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os dados que temos:
  • Tamanho da amostra inicial: 1000 habitantes
  • Número de insatisfeitos: 585
  • Nível de significância: 5% (o que corresponde a um nível de confiança de 95%)
  • Margem de erro desejada: 2,5%

Passo 3

Vamos calcular a proporção de pessoas insatisfeitas na amostra inicial. Isso é feito dividindo o número de insatisfeitos pelo tamanho total da amostra:
p = 5851000 = 0,585

Passo 4

Agora, precisamos encontrar o valor crítico z correspondente ao nível de confiança de 95%. Esse valor é padrão em tabelas estatísticas e é aproximadamente:
z = 1,96

Passo 5

A fórmula para calcular o tamanho da amostra necessário é:
n = z^2 cdot p cdot (1 - p)E^2
Onde:
  • $ n $ é o tamanho da amostra
  • $ z $ é o valor crítico
  • $ \hat{p} $ é a proporção estimada
  • $ E $ é a margem de erro

Passo 6

Vamos substituir os valores na fórmula:
n = (1,96)^2 cdot 0,585 cdot (1 - 0,585)(0,025)^2

Passo 7

Calculando passo a passo:
1,96^2 = 3,8416
0,585 cdot (1 - 0,585) = 0,585 cdot 0,415 = 0,242775
0,025^2 = 0,000625

Passo 8

Agora multiplicamos e dividimos:
n = 3,8416 cdot 0,2427750,000625
n = 0,93050,000625
n = 1488,8

Passo 9

Como não podemos ter uma fração de pessoa na amostra, arredondamos para cima:
n = 1489

Resposta

O tamanho da amostra necessário para a estimação, com uma margem de erro máxima de 2,5%, é de 1.489 habitantes.

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