Considere a variável aleatória tridimensional cuja densidade é dada por:
f(x1, x2, x3)=cc (x1+x2) e^-x3 & 00 0 & caso contrário á
Verifique á independência das variáveis:
b) X 1, X 2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de probabilidade! A gente tem uma variável aleatória tridimensional com uma função de densidade específica. Nosso objetivo aqui é verificar se as variáveis e são independentes. Para isso, vamos usar conceitos de densidade conjunta e marginal, além de entender o que significa duas variáveis serem independentes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa independência entre duas variáveis aleatórias. Duas variáveis fX,Y(x,y) = fX(x) cdot fY(y) e são independentes se a densidade conjunta deles for igual ao produto das densidades marginais e . Ou seja,

Passo 3

Agora, vamos encontrar a densidade conjunta de fX1,X2(x1,x2) = integral0^infty f(x1, x2, x3) , dx3 e fX1,X2(x1,x2) = integral0^infty (x1 + x2) e^-x3 , dx3 , que é . Como a função de densidade original também depende de , precisamos “eliminar” integrando sobre todas as possíveis valores dele. Assim,
Substituindo a função de densidade fornecida:

Passo 4

A integral de fX1,X2(x1,x2) = (x1 + x2) cdot 1 = x1 + x2 de 0 a infinito é igual a 1. Então simplificando:
Então, a densidade conjunta de e é .

Passo 5

Agora, vamos encontrar as densidades marginais fX1(x1) = integral0^1 (x1 + x2) , dx2 = x1 cdot 1 + integral0^1 x2 , dx2 = x1 + 12 e fX2(x2) = integral0^1 (x1 + x2) , dx1 = x2 cdot 1 + integral0^1 x1 , dx1 = x2 + 12 .
Para :
Para :

Passo 6

Agora, vamos verificar se a densidade conjunta é igual ao produto das marginais:
fX1(x1) cdot fX2(x2) = ( x1 + 12 ) ( x2 + 12 ) = x1 x2 + 12x1 + 12x2 + 14
Comparando com a densidade conjunta:
fX1,X2(x1,x2) = x1 + x2
Vemos que:
x1 + x2 neq x1 x2 + 12x1 + 12x2 + 14

Resposta

Como a densidade conjunta não é igual ao produto das densidades marginais , concluímos que as variáveis e não são independentes.

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