Considere a variável aleatória tridimensional cuja densidade é dada por:
Verifique á independência das variáveis:
b)
b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de probabilidade! A gente tem uma variável aleatória tridimensional com uma função de densidade específica. Nosso objetivo aqui é verificar se as variáveis
e
são independentes. Para isso, vamos usar conceitos de densidade conjunta e marginal, além de entender o que significa duas variáveis serem independentes.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa independência entre duas variáveis aleatórias. Duas variáveis
e
são independentes se a densidade conjunta deles
for igual ao produto das densidades marginais
e
. Ou seja,
Passo 3
Agora, vamos encontrar a densidade conjunta de
e
, que é
. Como a função de densidade original também depende de
, precisamos “eliminar”
integrando sobre todas as possíveis valores dele. Assim,
Substituindo a função de densidade fornecida:
Passo 4
A integral de
de 0 a infinito é igual a 1. Então simplificando:
Então, a densidade conjunta de
e
é
.
Passo 5
Agora, vamos encontrar as densidades marginais
e
.
Para
:
Para
:
Passo 6
Agora, vamos verificar se a densidade conjunta é igual ao produto das marginais:
Comparando com a densidade conjunta:
Vemos que:
Resposta
Como a densidade conjunta
não é igual ao produto das densidades marginais
, concluímos que as variáveis
e
não são independentes.
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Suponha que o número de pessoas que procuram uma agência dos Correios em um dado dia é uma variável aleatória de Poisson (
). Mostre que se cada pessoa que entra na agência é um homem com probabilidade
ou uma mulher com probabilidade (1-p), então o número de homens e mulheres que entram na agência são variáveis aleatórias independentes com distribuição de Poisson de parâmetros
e
, respectivamente.
(a) Encontre
valor da constante
.
(b) Qual é o estimador de momento para ?
© Mostre que é um estimador não tendencioso para
.
(d) Encontre o estimador de máxima verossimilhança para .
(b) Qual é o estimador de momento para
© Mostre que
(d) Encontre o estimador de máxima verossimilhança para
Encontre o estimador de máxima verossimilhança para
.
Um atirador acerta na mosca do alvo, 20% dos tiros. Qual a probabilidade de ele acertar na mosca pela primeira vez no
tiro?