Considere a variável aleatória tridimensional cuja densidade é dada por:
á
Verifique á independência das variáveis:
b)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de probabilidade! A gente tem uma variável aleatória tridimensional com uma função de densidade específica. Nosso objetivo aqui é verificar se as variáveis e são independentes. Para isso, vamos usar conceitos de densidade conjunta e marginal, além de entender o que significa duas variáveis serem independentes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa independência entre duas variáveis aleatórias. Duas variáveis e são independentes se a densidade conjunta deles for igual ao produto das densidades marginais e . Ou seja,

Passo 3

Agora, vamos encontrar a densidade conjunta de e , que é . Como a função de densidade original também depende de , precisamos “eliminar” integrando sobre todas as possíveis valores dele. Assim,
Substituindo a função de densidade fornecida:

Passo 4

A integral de de 0 a infinito é igual a 1. Então simplificando:
Então, a densidade conjunta de e é .

Passo 5

Agora, vamos encontrar as densidades marginais e .
Para :
Para :

Passo 6

Agora, vamos verificar se a densidade conjunta é igual ao produto das marginais:
Comparando com a densidade conjunta:
Vemos que:

Resposta

Como a densidade conjunta não é igual ao produto das densidades marginais , concluímos que as variáveis e não são independentes.

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