Encontre o estimador de máxima verossimilhança para .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função de densidade de probabilidade:
O que a gente precisa encontrar é o estimador de máxima verossimilhança para o parâmetro . Isso faz parte da estatística, onde buscamos o valor de que torna os dados observados mais “prováveis”.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é máxima verossimilhança. Imagine que você tem um conjunto de dados e quer encontrar o valor de que faz com que os dados sejam mais prováveis de acontecerem. A função de verossimilhança é justamente essa: ela mede a probabilidade dos dados em função de .

Passo 3

Como não temos uma amostra específica, vamos considerar que temos uma única observação . A função de verossimilhança para essa observação é igual à função de densidade de probabilidade :

Passo 4

Para facilitar o cálculo, é comum usar o logaritmo da função de verossimilhança, chamado de log-verossimilhança:
Vamos simplificar isso usando propriedades dos logaritmos:

Passo 5

Agora, para encontrar o valor de que maximiza a verossimilhança, vamos derivar a log-verossimilhança em relação a e igualar a derivada a zero:

Passo 6

Vamos resolver essa equação para :
Multiplicando ambos os lados por para eliminar os denominadores:
Então,
Resolvendo para :

Resposta

O estimador de máxima verossimilhança para é:

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á
Verifique á independência das variáveis:
b)
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© Encontre para o caso em que a média verdadeira seja de 11,5 quilogramas.