Encontre o estimador de máxima verossimilhança para
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função de densidade de probabilidade:
O que a gente precisa encontrar é o estimador de máxima verossimilhança para o parâmetro
. Isso faz parte da estatística, onde buscamos o valor de
que torna os dados observados mais “prováveis”.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é máxima verossimilhança. Imagine que você tem um conjunto de dados e quer encontrar o valor de
que faz com que os dados sejam mais prováveis de acontecerem. A função de verossimilhança é justamente essa: ela mede a probabilidade dos dados em função de
.
Passo 3
Como não temos uma amostra específica, vamos considerar que temos uma única observação
. A função de verossimilhança
para essa observação é igual à função de densidade de probabilidade
:
Passo 4
Para facilitar o cálculo, é comum usar o logaritmo da função de verossimilhança, chamado de log-verossimilhança:
Vamos simplificar isso usando propriedades dos logaritmos:
Passo 5
Agora, para encontrar o valor de
que maximiza a verossimilhança, vamos derivar a log-verossimilhança em relação a
e igualar a derivada a zero:
Passo 6
Vamos resolver essa equação para
:
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar os denominadores:
Então,
Resolvendo para
:
Resposta
O estimador de máxima verossimilhança para
é: