Encontre o estimador de máxima verossimilhança para
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função de densidade de probabilidade:
O que a gente precisa encontrar é o estimador de máxima verossimilhança para o parâmetro
. Isso faz parte da estatística, onde buscamos o valor de
que torna os dados observados mais “prováveis”.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é máxima verossimilhança. Imagine que você tem um conjunto de dados e quer encontrar o valor de
que faz com que os dados sejam mais prováveis de acontecerem. A função de verossimilhança é justamente essa: ela mede a probabilidade dos dados em função de
.
Passo 3
Como não temos uma amostra específica, vamos considerar que temos uma única observação
. A função de verossimilhança
para essa observação é igual à função de densidade de probabilidade
:
Passo 4
Para facilitar o cálculo, é comum usar o logaritmo da função de verossimilhança, chamado de log-verossimilhança:
Vamos simplificar isso usando propriedades dos logaritmos:
Passo 5
Agora, para encontrar o valor de
que maximiza a verossimilhança, vamos derivar a log-verossimilhança em relação a
e igualar a derivada a zero:
Passo 6
Vamos resolver essa equação para
:
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar os denominadores:
Então,
Resolvendo para
:
Resposta
O estimador de máxima verossimilhança para
é:
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Considere a variável aleatória tridimensional cuja densidade é dada por:
Verifique á independência das variáveis:
b)
b)
Suponha que o número de pessoas que procuram uma agência dos Correios em um dado dia é uma variável aleatória de Poisson (
). Mostre que se cada pessoa que entra na agência é um homem com probabilidade
ou uma mulher com probabilidade (1-p), então o número de homens e mulheres que entram na agência são variáveis aleatórias independentes com distribuição de Poisson de parâmetros
e
, respectivamente.
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tiro?
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quilogramas?
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© Encontre para o caso em que a média verdadeira seja de 11,5 quilogramas.
(b) Encontre
© Encontre