f(x)=12 theta^3 x^2 e^-x / theta, 0
Encontre o estimador de máxima verossimilhança para theta.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função de densidade de probabilidade:
f(x) = 12 theta^3 x^2 e^-x / theta, 0 < x < infty, 0 < theta < infty
O que a gente precisa encontrar é o estimador de máxima verossimilhança para o parâmetro theta. Isso faz parte da estatística, onde buscamos o valor de theta que torna os dados observados mais “prováveis”.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é máxima verossimilhança. Imagine que você tem um conjunto de dados e quer encontrar o valor de theta que faz com que os dados sejam mais prováveis de acontecerem. A função de verossimilhança é justamente essa: ela mede a probabilidade dos dados em função de theta.

Passo 3

Como não temos uma amostra específica, vamos considerar que temos uma única observação x. A função de verossimilhança L(theta) para essa observação é igual à função de densidade de probabilidade f(x):
L(theta) = f(x) = 12 theta^3 x^2 e^-x / theta

Passo 4

Para facilitar o cálculo, é comum usar o logaritmo da função de verossimilhança, chamado de log-verossimilhança:
ln L(theta) = ln(12 theta^3 x^2 e^-x / theta)
Vamos simplificar isso usando propriedades dos logaritmos:
ln L(theta) = ln(12) + ln(x^2) - 3 ln(theta) - xtheta
ln L(theta) = ln(12) + 2 ln(x) - 3 ln(theta) - xtheta

Passo 5

Agora, para encontrar o valor de theta que maximiza a verossimilhança, vamos derivar a log-verossimilhança em relação a theta e igualar a derivada a zero:
ddtheta ln L(theta) = -3theta + xtheta^2 = 0

Passo 6

Vamos resolver essa equação para theta:
-3theta + xtheta^2 = 0
Multiplicando ambos os lados por theta^2 para eliminar os denominadores:
-3theta + x = 0
Então,
x = 3theta
Resolvendo para theta:
theta = x3

Resposta

O estimador de máxima verossimilhança para theta é:
theta = x3

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