Suponha que o número de pessoas que procuram uma agência dos Correios em um dado dia é uma variável aleatória de Poisson (
). Mostre que se cada pessoa que entra na agência é um homem com probabilidade
ou uma mulher com probabilidade (1-p), então o número de homens e mulheres que entram na agência são variáveis aleatórias independentes com distribuição de Poisson de parâmetros
e
, respectivamente.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre o número de pessoas que chegam numa agência dos Correios num dia, e esse número segue uma distribuição de Poisson com parâmetro
. Além disso, cada pessoa que chega pode ser homem com probabilidade
ou mulher com probabilidade
. Nosso objetivo é mostrar que o número de homens e mulheres que entram na agência também seguem distribuições de Poisson, com parâmetros
e
, respectivamente, e que esses dois números são independentes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma variável aleatória de Poisson. A distribuição de Poisson modela o número de eventos que acontecem em um intervalo fixo de tempo ou espaço, quando esses eventos ocorrem com uma taxa média constante e independentemente do tempo desde o último evento. No nosso caso, o “evento” é uma pessoa chegando na agência, e a taxa média é
por dia.
Passo 3
Agora, vamos pensar que cada pessoa que chega pode ser homem ou mulher. A probabilidade de uma pessoa ser homem é
e de ser mulher é
. Isso é como se, para cada pessoa que chega, a gente “dividisse” ela em uma das duas categorias de forma independente.
Passo 4
Vamos chamar
de variável aleatória que representa o número total de pessoas que chegam na agência em um dia. Então, temos
. Agora, queremos encontrar
, o número de homens, e
, o número de mulheres que chegam nesse dia.
Passo 5
Para cada pessoa que chega, a chance de ser homem é
. Então, dado que
pessoas chegaram, o número de homens
segue uma distribuição binomial com parâmetros
e
, ou seja,
.
Passo 6
Mas a gente quer mostrar que
por si só também segue uma distribuição de Poisson. E aqui entra uma propriedade interessante da distribuição de Poisson: se
e dado
,
, então
segue uma distribuição de Poisson com parâmetro
, ou seja,
.
Passo 7
De forma similar, o número de mulheres
é simplesmente o total de pessoas menos o número de homens, ou seja,
. Usando a mesma propriedade,
também segue uma distribuição de Poisson com parâmetro
, ou seja,
.
Passo 8
Finalmente, para mostrar que
e
são independentes, observamos que a maneira como dividimos cada pessoa (em homem ou mulher) foi feita de forma independente. Isso garante que o número de homens não afeta o número de mulheres e vice-versa. Assim,
e
são variáveis independentes.
Resposta
Portanto, o número de homens que entram na agência segue uma distribuição de Poisson com parâmetro
, e o número de mulheres segue uma distribuição de Poisson com parâmetro
. Além disso, essas duas variáveis são independentes entre si.
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(a) Encontre
valor da constante
.
(b) Qual é o estimador de momento para ?
© Mostre que é um estimador não tendencioso para
.
(d) Encontre o estimador de máxima verossimilhança para .
(b) Qual é o estimador de momento para
© Mostre que
(d) Encontre o estimador de máxima verossimilhança para
Um número q é escolhido ao acaso no intervalo ( 0,1 ). Dois jogadores
e
disputam um jogo em
etapas independentes onde
tem probabilidade
, de vencer
em cada prova.
b) Se , qual a probabilidade de A vencer mais do que 75 provas?
b) Se
Considere a variável aleatória tridimensional cuja densidade é dada por:
Verifique á independência das variáveis:
b)
b)
Encontre o estimador de máxima verossimilhança para
.