Suponha que o número de pessoas que procuram uma agência dos Correios em um dado dia é uma variável aleatória de Poisson ( lambda ). Mostre que se cada pessoa que entra na agência é um homem com probabilidade p ou uma mulher com probabilidade (1-p), então o número de homens e mulheres que entram na agência são variáveis aleatórias independentes com distribuição de Poisson de parâmetros lambda p e lambda(1-p), respectivamente.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre o número de pessoas que chegam numa agência dos Correios num dia, e esse número segue uma distribuição de Poisson com parâmetro lambda. Além disso, cada pessoa que chega pode ser homem com probabilidade p ou mulher com probabilidade (1-p). Nosso objetivo é mostrar que o número de homens e mulheres que entram na agência também seguem distribuições de Poisson, com parâmetros lambda p e lambda(1-p), respectivamente, e que esses dois números são independentes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma variável aleatória de Poisson. A distribuição de Poisson modela o número de eventos que acontecem em um intervalo fixo de tempo ou espaço, quando esses eventos ocorrem com uma taxa média constante e independentemente do tempo desde o último evento. No nosso caso, o “evento” é uma pessoa chegando na agência, e a taxa média é lambda por dia.

Passo 3

Agora, vamos pensar que cada pessoa que chega pode ser homem ou mulher. A probabilidade de uma pessoa ser homem é p e de ser mulher é (1-p). Isso é como se, para cada pessoa que chega, a gente “dividisse” ela em uma das duas categorias de forma independente.

Passo 4

Vamos chamar X de variável aleatória que representa o número total de pessoas que chegam na agência em um dia. Então, temos X sim Poisson(lambda). Agora, queremos encontrar Y, o número de homens, e Z, o número de mulheres que chegam nesse dia.

Passo 5

Para cada pessoa que chega, a chance de ser homem é p. Então, dado que X = k pessoas chegaram, o número de homens Y segue uma distribuição binomial com parâmetros k e p, ou seja, Y | X = k sim Binomial(k, p).

Passo 6

Mas a gente quer mostrar que Y por si só também segue uma distribuição de Poisson. E aqui entra uma propriedade interessante da distribuição de Poisson: se X sim Poisson(lambda) e dado X = k, Y sim Binomial(k, p), então Y segue uma distribuição de Poisson com parâmetro lambda p, ou seja, Y sim Poisson(lambda p).

Passo 7

De forma similar, o número de mulheres Z é simplesmente o total de pessoas menos o número de homens, ou seja, Z = X - Y. Usando a mesma propriedade, Z também segue uma distribuição de Poisson com parâmetro lambda(1-p), ou seja, Z sim Poisson(lambda(1-p)).

Passo 8

Finalmente, para mostrar que Y e Z são independentes, observamos que a maneira como dividimos cada pessoa (em homem ou mulher) foi feita de forma independente. Isso garante que o número de homens não afeta o número de mulheres e vice-versa. Assim, Y e Z são variáveis independentes.

Resposta

Portanto, o número de homens que entram na agência segue uma distribuição de Poisson com parâmetro lambda p, e o número de mulheres segue uma distribuição de Poisson com parâmetro lambda(1-p). Além disso, essas duas variáveis são independentes entre si.

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