f(x)=c(1+theta x), -1 <= x <= 1
(a) Encontre o valor da constante c.
(b) Qual é o estimador de momento para theta ?
© Mostre que theta=3 barX é um estimador não tendencioso para theta.
(d) Encontre o estimador de máxima verossimilhança para theta.

Passo 1

Beleza, vamos dar um gás nesse exercício! A gente tem uma função de densidade de probabilidade dada por:
f(x) = c(1 + theta x), -1 <= x <= 1
O exercício está pedindo para a gente:
(a) Encontrar o valor da constante .
(b) Descobrir qual é o estimador de momento para .
© Mostrar que é um estimador não tendencioso para .
(d) Encontrar o estimador de máxima verossimilhança para .
Para resolver tudo isso, vamos precisar entender alguns conceitos básicos de Estatística, como função de densidade, condições para que seja uma função de densidade válida, estimadores de momento, estimadores não tendenciosos e o método da máxima verossimilhança. Vamos passo a passo!

Passo 2

Parte (a): Encontrar o valor da constante integral-1^1 f(x) , dx = 1 .

Primeiro, para que integral-1^1 c(1 + theta x) , dx = 1 seja uma função de densidade de probabilidade válida, ela precisa satisfazer duas condições:
  1. para todo no intervalo.
  2. A integral de sobre todo o espaço de deve ser igual a 1.
Vamos utilizar a segunda condição para encontrar .
A integral de de a deve ser igual a 1:
Substituindo :
Vamos calcular essa integral.

Passo 3

Vamos calcular a integral passo a passo:
c integral-1^1 (1 + theta x) , dx = c [ integral-1^1 1 , dx + theta integral-1^1 x , dx ]
Calculando cada parte:
  1. c (2 + theta cdot 0) = 2c
  2. 2c = 1 implies c = 12
Então, a integral fica:
Igualando a 1:

Passo 4

Parte (b): Estimador de momento para E[X] = integral-1^1 x f(x) , dx .

O método dos momentos envolve igualar os momentos amostrais aos momentos teóricos.
Primeiro, vamos calcular o primeiro momento teórico, que é a média E[X] = 12 integral-1^1 x(1 + theta x) , dx = 12 [ integral-1^1 x , dx + theta integral-1^1 x^2 , dx ] .
Sabemos que:
E[X] = 12 ( 0 + theta cdot 23 ) = 12 cdot 23 theta = theta3
Substituindo theta3 = barX implies theta = 3barX :
Calculando cada parte:
  1. (como vimos antes).
Então,
No método dos momentos, igualamos à média amostral :
Portanto, o estimador de momento para é .

Passo 5

Parte ©: Mostrar que E[theta] = E[3barX] = 3 E[barX] é um estimador não tendencioso para E[barX] = E[X] = theta3 .

Um estimador é não tendencioso se o valor esperado dele for igual ao parâmetro que estamos estimando.
Temos:
E[theta] = 3 cdot theta3 = theta
Sabemos que é a média amostral, então:
Portanto,
Como , o estimador é não tendencioso para .

Passo 6

Parte (d): Encontrar o estimador de máxima verossimilhança para L(theta) = prodi=1^n f(xi) = prodi=1^n 12(1 + theta xi) .

O estimador de máxima verossimilhança (MLE) é o valor de ell(theta) = ln L(theta) = sumi=1^n ln( 12(1 + theta xi) ) que maximiza a função de verossimilhança.
Primeiro, vamos supor que temos uma amostra de delldtheta = sumi=1^n xi1 + theta xi observações independentes sumi=1^n xi1 + theta xi = 0 .
A função de verossimilhança é o produto das funções de densidade para cada observação:
Para facilitar a maximização, vamos trabalhar com o logaritmo da verossimilhança:
Derivamos em relação a e igualamos a zero para encontrar o ponto máximo.
Vamos calcular a derivada:
Igualando a derivada a zero:
Essa equação geralmente não tem solução analítica simples, então o MLE para deve ser encontrado numericamente. Contudo, em alguns casos específicos, é possível simplificar, mas sem informações adicionais sobre os dados, essa é a forma geral do MLE para .

Resposta

(a)
(b) O estimador de momento para é
© é um estimador não tendencioso para
(d) O estimador de máxima verossimilhança para é a solução da equação , geralmente encontrada numericamente

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