(a) Encontre
valor da constante
.
(b) Qual é o estimador de momento para
?
© Mostre que
é um estimador não tendencioso para
.
(d) Encontre o estimador de máxima verossimilhança para
.
(b) Qual é o estimador de momento para
© Mostre que
(d) Encontre o estimador de máxima verossimilhança para
Passo 1
Beleza, vamos dar um gás nesse exercício! A gente tem uma função de densidade de probabilidade dada por:
O exercício está pedindo para a gente:
(a) Encontrar o valor da constante
.
(b) Descobrir qual é o estimador de momento para
.
© Mostrar que
é um estimador não tendencioso para
.
(d) Encontrar o estimador de máxima verossimilhança para
.
Para resolver tudo isso, vamos precisar entender alguns conceitos básicos de Estatística, como função de densidade, condições para que
seja uma função de densidade válida, estimadores de momento, estimadores não tendenciosos e o método da máxima verossimilhança. Vamos passo a passo!
Passo 2
Parte (a): Encontrar o valor da constante
.
Primeiro, para que
seja uma função de densidade de probabilidade válida, ela precisa satisfazer duas condições:
-
para todo no intervalo. - A integral de
sobre todo o espaço de deve ser igual a 1.
Vamos utilizar a segunda condição para encontrar
.
A integral de
de
a
deve ser igual a 1:
Substituindo
:
Vamos calcular essa integral.
Passo 3
Vamos calcular a integral passo a passo:
Calculando cada parte:
Então, a integral fica:
Igualando a 1:
Passo 4
Parte (b): Estimador de momento para
.
O método dos momentos envolve igualar os momentos amostrais aos momentos teóricos.
Primeiro, vamos calcular o primeiro momento teórico, que é a média
.
Sabemos que:
Substituindo
:
Calculando cada parte:
-
(como vimos antes). -
Então,
No método dos momentos, igualamos
à média amostral
:
Portanto, o estimador de momento para
é
.
Passo 5
Parte ©: Mostrar que
é um estimador não tendencioso para
.
Um estimador é não tendencioso se o valor esperado dele for igual ao parâmetro que estamos estimando.
Temos:
Sabemos que
é a média amostral, então:
Portanto,
Como
, o estimador
é não tendencioso para
.
Passo 6
Parte (d): Encontrar o estimador de máxima verossimilhança para
.
O estimador de máxima verossimilhança (MLE) é o valor de
que maximiza a função de verossimilhança.
Primeiro, vamos supor que temos uma amostra de
observações independentes
.
A função de verossimilhança é o produto das funções de densidade para cada observação:
Para facilitar a maximização, vamos trabalhar com o logaritmo da verossimilhança:
Derivamos
em relação a
e igualamos a zero para encontrar o ponto máximo.
Vamos calcular a derivada:
Igualando a derivada a zero:
Essa equação geralmente não tem solução analítica simples, então o MLE para
deve ser encontrado numericamente. Contudo, em alguns casos específicos, é possível simplificar, mas sem informações adicionais sobre os dados, essa é a forma geral do MLE para
.
Resposta
(a)
(b) O estimador de momento para
é
©
é um estimador não tendencioso para
(d) O estimador de máxima verossimilhança para
é a solução da equação
, geralmente encontrada numericamente
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tem probabilidade
, de vencer
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Quando
, essa função densidade se reduz à distribuição exponencial usual. Quando
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.
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.
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, respectivamente.
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b)
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