Considere uma variável aleatória X com a seguinte f…p.m:
P(X=x)=1 / 6, para x=1,2,3,4,5,6
Determine a variância de X.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma variável aleatória que representa o resultado de um lançamento justo de um dado, ou seja, cada face de 1 a 6 tem a mesma probabilidade de sair. O objetivo é encontrar a variância dessa variável . Para isso, vamos precisar saber como calcular a variância de uma variável aleatória discreta.

Passo 2

Primeiro, precisamos calcular a média (ou valor esperado) de E[X] = sumx=1^6 x cdot P(X = x) . A média é calculada somando todos os possíveis valores de E[X] = 16(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) multiplicados por suas respectivas probabilidades.
Como cada , temos:

Passo 3

Agora, vamos somar os números de 1 a 6:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21
Então:
E[X] = 16 times 21 = 3,5

Passo 4

Em seguida, precisamos calcular E[X^2] = sumx=1^6 x^2 cdot P(X = x) , que é a média dos quadrados dos valores de E[X^2] = 16(1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 + 6^2) :
Substituindo :

Passo 5

Vamos calcular cada quadrado e somar:
1^2 = 1, 2^2 = 4, 3^2 = 9, 4^2 = 16, 5^2 = 25, 6^2 = 36
Somando:
1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36 = 91
Então:
E[X^2] = 16 times 91 approx 15,1667

Passo 6

A variância Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2 é dada por:
Var(X) = 15,1667 - (3,5)^2 = 15,1667 - 12,25 = 2,9167
Substituindo os valores que encontramos:

Resposta

A variância de é aproximadamente .

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