Considere uma variável aleatória X que tem distribuição exponencial. Descreva: A função de distribuição acumulada de X .

Passo 1

Beleza! Vamos lá: o exercício pede para descrever a função de distribuição acumulada (FDA) de uma variável aleatória que segue a distribuição exponencial. Isso está no campo da probabilidade e estatística. Para resolver, vamos precisar entender o que é a distribuição exponencial e como construir a FDA a partir dela.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma distribuição exponencial. Ela é usada para modelar o tempo entre eventos em um processo de Poisson, como o tempo de espera até o próximo ônibus chegar. A distribuição exponencial tem um parâmetro que representa a taxa de eventos por unidade de tempo.

Passo 3

A função de densidade de probabilidade (FDP) da distribuição exponencial é dada por:
fX(x) = lambda e^-lambda x
para . Essa função nos dá a probabilidade de que a variável esteja em um intervalo específico.

Passo 4

Agora, para encontrar a função de distribuição acumulada (FDA), denotada por FX(x) = integral0^x lambda e^-lambda t , dt , precisamos calcular a probabilidade de que seja menor ou igual a um certo valor . Isso é feito integrando a FDP de 0 até :

Passo 5

Vamos resolver essa integral:
FX(x) = lambda integral0^x e^-lambda t , dt = lambda [ -1lambda e^-lambda t ]0^x = -e^-lambda x + e^0 = 1 - e^-lambda x

Resposta

Então, a função de distribuição acumulada de FX(x) = 1 - e^-lambda x é:
para todo .

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