Considere uma variável aleatória X que tem distribuição exponencial. Descreva: Um problema que é modelado através da distribuição exponencial.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma variável aleatória que segue uma distribuição exponencial. A matéria envolvida aqui é a Teoria das Probabilidades, mais especificamente, Distribuições de Probabilidade. Para resolver esse exercício, vamos precisar entender o que é a distribuição exponencial e identificar um cenário do mundo real que pode ser modelado por ela.

Passo 2

A distribuição exponencial é usada para modelar o tempo entre eventos que ocorrem de forma contínua e independente a uma taxa constante. Por exemplo, é muito usada para representar o tempo de espera até o próximo evento em processos que não têm memória, como o tempo entre chegadas de clientes em uma fila.

Passo 3

Vamos pensar em um exemplo prático. Imagine que você está esperando um ônibus que chega a cada 15 minutos, em média. Se o tempo de chegada do próximo ônibus é aleatório e segue uma distribuição exponencial, podemos modelar esse tempo de espera com essa distribuição.

Passo 4

Na prática, isso significa que a probabilidade de esperar mais de um certo tempo P(X > t) = e^-lambda t para o ônibus é dada por:
onde é a taxa média de chegada dos ônibus. Se o tempo médio entre os ônibus é de 15 minutos, então por minuto.

Passo 5

Esse modelo é útil porque nos permite calcular coisas como a probabilidade de ter que esperar mais de, digamos, 20 minutos pelo ônibus, ou a probabilidade de o próximo ônibus chegar dentro de 10 minutos.

Resposta

Um exemplo de problema modelado pela distribuição exponencial é o tempo de espera até a chegada do próximo ônibus em um ponto de ônibus, assumindo que os ônibus chegam de forma aleatória e com uma taxa constante de chegada.

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