Uma urna contém 30 bolas brancas e 20 bolas verdes. Uma bola é retirada ao acaso dessa urna. Considere a variável aleatória X como sendo uma variável indicadora que assume o valor 1 se a bola retirada for verde, e 0 se for branca. Defina a distribuição de X , a função de distribuição acumulada de X (fda) e sua média e desvio-padrão.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma urna com 30 bolas brancas e 20 verdes. A gente vai tirar uma bola de lá de forma aleatória. A variável aleatória é uma variável indicadora: ela vale 1 se a bola for verde e 0 se for branca. Vamos usar conceitos de probabilidade e variáveis aleatórias para definir a distribuição de , a função de distribuição acumulada (FDA) dela, além de calcular a média e o desvio-padrão.

Passo 2

Primeiro, vamos definir a distribuição de P(X = 1) = número de bolas verdestotal de bolas = 2030 + 20 = 2050 = 0,4 . Como P(X = 0) = número de bolas brancastotal de bolas = 3050 = 0,6 só pode ser 0 ou 1, precisamos encontrar as probabilidades de cada um desses valores.
  • Probabilidade de X = 1 & com probabilidade 0,4 0 & com probabilidade 0,6 (tirar uma bola verde):
    ú
  • Probabilidade de (tirar uma bola branca):
    ú
Então, a distribuição de é:

Passo 3

Agora, vamos construir a Fun��ão de Distribuição Acumulada (FDA) de FX(x) = 0 . A FDA, denotada por FX(x) = P(X <= 0) = P(X = 0) = 0,6 , nos dá a probabilidade de FX(x) = P(X <= 1) = P(X = 0) + P(X = 1) = 0,6 + 0,4 = 1 ser menor ou igual a um certo valor FX(x) = 0 & se x < 0 0,6 & se 0 <= x < 1 1 & se x >= 1 .
Como só pode ser 0 ou 1, temos:
  • Para :
  • Para :
  • Para :
Então, a FDA de é:

Passo 4

Vamos calcular a média de E(X) = (0) times P(X = 0) + (1) times P(X = 1) = 0 times 0,6 + 1 times 0,4 = 0 + 0,4 = 0,4 , que também é chamada de valor esperado . Para isso, multiplicamos cada valor de pela sua probabilidade e somamos:
Então, a média de é 0,4.

Passo 5

Por último, vamos encontrar o desvio-padrão de Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 . Primeiro, precisamos calcular a variância E(X^2) = (0)^2 times P(X = 0) + (1)^2 times P(X = 1) = 0 times 0,6 + 1 times 0,4 = 0 + 0,4 = 0,4 .
A variância é dada por:
Var(X) = 0,4 - (0,4)^2 = 0,4 - 0,16 = 0,24
Como sigmaX = raizVar(X) = raiz0,24 approx 0,4899 só pode ser 0 ou 1, temos:
Então,
O desvio-padrão é a raiz quadrada da variância:

Resposta

  • Distribuição de X = 1 & com probabilidade 0,4 0 & com probabilidade 0,6 :
    FX(x) = 0 & se x < 0 0,6 & se 0 <= x < 1 1 & se x >= 1
  • Função de Distribuição Acumulada (FDA) de E(X) = 0,4 :
    sigmaX approx 0,4899
  • Média de :
  • Desvio-Padrão de :

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