Numa estrada há 2 acidentes para cada 100 Km . Qual a probabilidade de que em:
250 Km ocorram pelo menos 3 acidentes? (Resposta: 0,8754)

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma estrada onde ocorrem, em média, 2 acidentes a cada 100 km. A pergunta é: qual é a probabilidade de que, em uma distância de 250 km, ocorram pelo menos 3 acidentes?
Para resolver isso, vamos usar a Distribuição de Poisson, que é útil para calcular a probabilidade de um certo número de eventos ocorrer em um intervalo fixo de tempo ou espaço, sabendo a taxa média de ocorrência desses eventos.

Passo 2

Primeiro, precisamos determinar a taxa média de acidentes para 250 km. Sabemos que são 2 acidentes a cada 100 km. Então, para 250 km:
lambda = 2 times 250100 = 5
Aqui, representa a taxa média de acidentes.

Passo 3

A Distribuição de Poisson é dada pela fórmula:
P(k; lambda) = e^-lambda lambda^kk!
Onde:
  • é a probabilidade de ocorrer exatamente acidentes.
  • é a base dos logaritmos naturais (aproximadamente 2,71828).
  • é a taxa média de acidentes.
  • é o fatorial de .

Passo 4

Queremos a probabilidade de ocorrer pelo menos 3 acidentes. Isso significa que queremos calcular P(X >= 3) = 1 - [P(0; 5) + P(1; 5) + P(2; 5)] . Em termos de Poisson, isso é igual a 1 menos a probabilidade de ocorrerem 0, 1 ou 2 acidentes:

Passo 5

Vamos calcular cada uma dessas probabilidades:
  1. Para 0 acidentes:
P(0; 5) = e^-5 times 5^00! = e^-5 times 1 / 1 = e^-5 approx 0,0067
  1. Para 1 acidente:
P(1; 5) = e^-5 times 5^11! = e^-5 times 5 / 1 = 5e^-5 approx 0,0337
  1. Para 2 acidentes:
P(2; 5) = e^-5 times 5^22! = e^-5 times 25 / 2 = 12,5e^-5 approx 0,0842

Passo 6

Agora, somamos essas probabilidades:
P(0; 5) + P(1; 5) + P(2; 5) approx 0,0067 + 0,0337 + 0,0842 = 0,1246

Passo 7

Finalmente, subtraímos essa soma de 1 para encontrar a probabilidade de ocorrer pelo menos 3 acidentes:
P(X >= 3) = 1 - 0,1246 = 0,8754

Resposta

A probabilidade de que, em 250 km, ocorram pelo menos 3 acidentes é de aproximadamente 0,8754.

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