Suponha que em uma certa população, o tamanho do crânio é uma variável aleatória com distribuição aproximadamente normal com média 185,6 mm e desvio padrão 12,7 mm. Qual é a probabilidade que em uma amostra aleatória de tamanho 10 desta população a média amostral seja maior que 190 mm ?(Resposta: 0,1357)

Passo 1

Vamos resolver um problema de probabilidade envolvendo distribuição normal. Temos uma população onde o tamanho do crânio é normalmente distribuído com média de 185,6 mm e desvio padrão de 12,7 mm. Queremos saber qual é a probabilidade de, em uma amostra aleatória de tamanho 10, a média amostral ser maior que 190 mm. Para isso, vamos usar conceitos de distribuição da média amostral e a distribuição normal padrão.

Passo 2

Primeiro, precisamos calcular o desvio padrão da média amostral, também conhecido como erro padrão. A fórmula para o erro padrão ( sigmabarx = sigmaraizn ) é:
sigmabarx = 12,7raiz10 approx 12,73,1623 approx 4,013 mm
Onde:
  • mm (desvio padrão da população)
  • (tamanho da amostra)
Calculando:

Passo 3

Agora, vamos encontrar o valor-z que corresponde à média amostral de 190 mm. A fórmula para o valor-z é:
z = barx - musigmabarx
Onde:
  • z = 190 - 185,64,013 approx 4,44,013 approx 1,096 mm (média amostral)
  • mm (média da população)
  • mm
Calculando:

Passo 4

Com o valor-z calculado, queremos encontrar a probabilidade de P(Z > 1,096) approx 0,1357 mm, ou seja, . Consultando a tabela da distribuição normal padrão ou usando uma calculadora, encontramos que:

Resposta

A probabilidade é aproximadamente 0,1357.

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