Considere uma variável aleatória X que tem distribuição exponencial. Descreva: O valor esperado e a variância de X.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre uma variável aleatória
que segue uma distribuição exponencial. Nosso objetivo aqui é encontrar o valor esperado (que é como a média) e a variância dessa variável. Para isso, a gente vai precisar entender um pouco sobre a distribuição exponencial e usar as fórmulas específicas para calcular o valor esperado e a variância.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma distribuição exponencial. Ela é usada para modelar o tempo entre eventos em um processo que ocorre de forma contínua e independente, como o tempo que uma lâmpada dura antes de queimar. A distribuição exponencial tem um parâmetro
(lambda), que é a taxa na qual os eventos ocorrem.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre o valor esperado. O valor esperado de uma variável aleatória é basicamente a média que esperamos obter se repetirmos o experimento várias vezes. Para uma distribuição exponencial, a fórmula do valor esperado é:
Isso significa que, quanto maior o
, menor será o valor esperado.
Passo 4
Em seguida, a variância mede o quanto os valores de
variam em torno do valor esperado. Para a distribuição exponencial, a variância é dada por:
Isso mostra que a variância também depende do parâmetro
, e que ela diminui à medida que
aumenta.
Resposta
O valor esperado de
é
e a variância de
é
.
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