Considere uma variável aleatória X que tem distribuição exponencial. Descreva: O valor esperado e a variância de X.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre uma variável aleatória que segue uma distribuição exponencial. Nosso objetivo aqui é encontrar o valor esperado (que é como a média) e a variância dessa variável. Para isso, a gente vai precisar entender um pouco sobre a distribuição exponencial e usar as fórmulas específicas para calcular o valor esperado e a variância.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma distribuição exponencial. Ela é usada para modelar o tempo entre eventos em um processo que ocorre de forma contínua e independente, como o tempo que uma lâmpada dura antes de queimar. A distribuição exponencial tem um parâmetro (lambda), que é a taxa na qual os eventos ocorrem.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre o valor esperado. O valor esperado de uma variável aleatória é basicamente a média que esperamos obter se repetirmos o experimento várias vezes. Para uma distribuição exponencial, a fórmula do valor esperado é:
E(X) = 1lambda
Isso significa que, quanto maior o , menor será o valor esperado.

Passo 4

Em seguida, a variância mede o quanto os valores de Var(X) = 1lambda^2 variam em torno do valor esperado. Para a distribuição exponencial, a variância é dada por:
Isso mostra que a variância também depende do parâmetro , e que ela diminui à medida que aumenta.

Resposta

O valor esperado de é e a variância de é .

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