Se a probabilidade de um indivíduo sofrer uma reação nociva, resultante da infecção de um determinado soro é 0,0001 . Determinar a probabilidade de, entre 2.000 indivíduos:
exatamente três sofrerem a reação; (Resposta: 0 , 0 0 1 1 )

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a probabilidade de uma pessoa sofrer uma reação nociva por um soro, que é 0,0001. Precisamos descobrir qual é a chance de, dentre 2.000 pessoas, exatamente três sofrerem essa reação. Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade e distribuição binomial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma distribuição binomial. Ela é usada quando temos um número fixo de tentativas independentes, cada uma com duas possibilidades de resultado: sucesso ou fracasso. No nosso caso, cada indivíduo pode ou não sofrer a reação nociva.
A fórmula da probabilidade binomial é:
P(k) = binomnk times p^k times (1 - p)^n - k
Onde:
  • é o número total de tentativas (neste caso, 2.000 pessoas),
  • é o número de sucessos desejados (3 reações nocivas),
  • é a probabilidade de sucesso em uma única tentativa (0,0001),
  • é o coeficiente binomial, que calcula o número de maneiras de escolher sucessos em tentativas.

Passo 3

Vamos calcular o coeficiente binomial binom20003 = 2000!3! times (2000 - 3)! = 2000 times 1999 times 19983 times 2 times 1 = 2000 times 1999 times 19986 :

Passo 4

Agora, calculamos p^k = (0,0001)^3 = 1 times 10^-12 e (1 - p)^n - k = (0,9999)^1997 :
(1 - p)^n approx e^-p times n
(1 - 0,0001)^2000 approx e^-0,0001 times 2000 = e^-0,2 approx 0,8187
Para simplificar, podemos usar uma aproximação para quando é muito pequeno:
Então,

Passo 5

Agora, juntamos tudo na fórmula da distribuição binomial:
P(3) = binom20003 times (0,0001)^3 times (0,9999)^1997
Substituindo os valores calculados:
P(3) = 2000 times 1999 times 19986 times 1 times 10^-12 times 0,8187

Passo 6

Vamos simplificar os números:
2000 times 1999 times 19986 approx 2000 times 2000 times 20006 = 8 times 10^96 approx 1,333 times 10^9
Multiplicando por P(3) approx 1,333 times 10^9 times 1 times 10^-12 times 0,8187 approx 0,00109 e por 0,8187:

Resposta

A probabilidade de, entre 2.000 indivíduos, exatamente três sofrerem a reação nociva é aproximadamente 0,0011.

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