Considere o vetor aleatório (X, Y) onde X representa o número de consultas por minuto em um site de internet, e Y o número de vendas por minuto no site. A função de probabilidade conjunta é dada na tabela: (2 pts)
f(x,y) Y
0 1 2 3
X 0 0,4 0 0 0
1 0,15 0,10 0 0
2 0,08 0,05 0,02 0
3 0,04 0,02 0,02 0
4 0,02 0,02 0,01 0,01
5 0,01 0,01 0,02 0,02
© Encontre COV(X, Y)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar a covariância entre e . A covariância ajuda a entender como duas variáveis aleatórias se relacionam, ou seja, se elas tendem a aumentar juntas, diminuir juntas ou se não têm relação. Para isso, vamos usar a tabela de probabilidade conjunta que você forneceu. Precisamos calcular as médias de e , além da expectativa de .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a média de E[X] = sumx x cdot P(X = x) , que é P(X=0) &= 0,4 + 0 + 0 + 0 = 0,4 P(X=1) &= 0,15 + 0,10 + 0 + 0 = 0,25 P(X=2) &= 0,08 + 0,05 + 0,02 + 0 = 0,15 P(X=3) &= 0,04 + 0,02 + 0,02 + 0 = 0,10 P(X=4) &= 0,02 + 0,02 + 0,01 + 0,01 = 0,06 P(X=5) &= 0,01 + 0,01 + 0,02 + 0,02 = 0,06 . Para isso, somamos todos os valores possíveis de E[X] = 0 cdot 0,4 + 1 cdot 0,25 + 2 cdot 0,15 + 3 cdot 0,10 + 4 cdot 0,06 + 5 cdot 0,06 = 0 + 0,25 + 0,30 + 0,30 + 0,24 + 0,30 = 1,39 multiplicados pelas suas probabilidades marginais.
Para encontrar , somamos as probabilidades de cada linha na tabela:
Agora, calculamos :

Passo 3

Agora, vamos calcular a média de P(Y=0) &= 0,4 + 0,15 + 0,08 + 0,04 + 0,02 + 0,01 = 0,70 P(Y=1) &= 0 + 0,10 + 0,05 + 0,02 + 0,02 + 0,01 = 0,20 P(Y=2) &= 0 + 0 + 0,02 + 0,02 + 0,01 + 0,02 = 0,07 P(Y=3) &= 0 + 0 + 0 + 0 + 0,01 + 0,02 = 0,03 , que é E[Y] = 0 cdot 0,70 + 1 cdot 0,20 + 2 cdot 0,07 + 3 cdot 0,03 = 0 + 0,20 + 0,14 + 0,09 = 0,43 . Similarmente, somamos todas as probabilidades de cada coluna na tabela para encontrar :
Agora, calculamos :

Passo 4

Em seguida, vamos calcular a expectativa de E[XY] = sumx sumy x cdot y cdot P(X=x, Y=y) , que é (0,0) &: 0 cdot 0 cdot 0,4 = 0 (0,1) &: 0 cdot 1 cdot 0 = 0 (0,2) &: 0 cdot 2 cdot 0 = 0 (0,3) &: 0 cdot 3 cdot 0 = 0 (1,0) &: 1 cdot 0 cdot 0,15 = 0 (1,1) &: 1 cdot 1 cdot 0,10 = 0,10 (1,2) &: 1 cdot 2 cdot 0 = 0 (1,3) &: 1 cdot 3 cdot 0 = 0 (2,0) &: 2 cdot 0 cdot 0,08 = 0 (2,1) &: 2 cdot 1 cdot 0,05 = 0,10 (2,2) &: 2 cdot 2 cdot 0,02 = 0,08 (2,3) &: 2 cdot 3 cdot 0 = 0 (3,0) &: 3 cdot 0 cdot 0,04 = 0 (3,1) &: 3 cdot 1 cdot 0,02 = 0,06 (3,2) &: 3 cdot 2 cdot 0,02 = 0,12 (3,3) &: 3 cdot 3 cdot 0 = 0 (4,0) &: 4 cdot 0 cdot 0,02 = 0 (4,1) &: 4 cdot 1 cdot 0,02 = 0,08 (4,2) &: 4 cdot 2 cdot 0,01 = 0,08 (4,3) &: 4 cdot 3 cdot 0,01 = 0,12 (5,0) &: 5 cdot 0 cdot 0,01 = 0 (5,1) &: 5 cdot 1 cdot 0,01 = 0,05 (5,2) &: 5 cdot 2 cdot 0,02 = 0,20 (5,3) &: 5 cdot 3 cdot 0,02 = 0,30 . Para isso, multiplicamos cada par E[XY] = 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0,10 + 0 + 0 + 0 + 0,10 + 0,08 + 0 + 0 + 0,06 + 0,12 + 0 + 0,08 + 0,08 + 0,12 + 0 + 0,05 + 0,20 + 0,30 = 0,99 pela sua probabilidade conjunta e somamos todos os resultados:
Vamos calcular cada termo:
Agora, somamos todos esses valores:

Passo 5

Agora que temos COV(X, Y) = E[XY] - E[X] cdot E[Y] , COV(X, Y) = 0,99 - (1,39 cdot 0,43) = 0,99 - 0,5977 = 0,3923 e , podemos calcular a covariância usando a fórmula:
Substituindo os valores:

Resposta

A covariância entre e é aproximadamente .

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f(x, y) Y
0 1 2 3
X 0 0,4 0 0 0
1 0,15 0,10 0 0
2 0,08 0,05 0,02 0
3 0,04 0,02 0,02 0
4 0,02 0,02 0,01 0,01
5 0,01 0,01 0,02 0,02
(a) Encontre a função de probabilidade do número de consultas necessárias quando houve 2 vendas.