Considere o vetor aleatório (X, Y) onde X representa o número de consultas por minuto em um site de internet, e Y o número de vendas por minuto no site. A função de probabilidade conjunta é dada na tabela: (2 pts)
f(x, y) Y
0 1 2 3
X 0 0,4 0 0 0
1 0,15 0,10 0 0
2 0,08 0,05 0,02 0
3 0,04 0,02 0,02 0
4 0,02 0,02 0,01 0,01
5 0,01 0,01 0,02 0,02
(a) Encontre a função de probabilidade do número de consultas necessárias quando houve 2 vendas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema que temos é sobre probabilidade conjunta. A gente tem um site onde representa o número de consultas por minuto e o número de vendas por minuto. A tabela fornece a função de probabilidade conjunta . A questão é: qual é a função de probabilidade do número de consultas necessárias quando já tivemos 2 vendas? Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular a probabilidade condicional usando a tabela que temos.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a probabilidade de ocorrerem 2 vendas, ou seja, |c|c|c|c|c| hline X & Y=0 & Y=1 & Y=2 & Y=3 hline 0 & 0,4 & 0 & 0 & 0 1 & 0,15 & 0,10 & 0 & 0 2 & 0,08 & 0,05 & 0,02 & 0 3 & 0,04 & 0,02 & 0,02 & 0 4 & 0,02 & 0,02 & 0,01 & 0,01 5 & 0,01 & 0,01 & 0,02 & 0,02 hline . Para isso, vamos somar todas as probabilidades na tabela onde P(Y = 2) = 0 + 0 + 0,02 + 0,02 + 0,01 + 0,02 = 0,07 , independente de .
Olha na tabela:
Vamos somar todas as probabilidades onde :

Passo 3

Agora, queremos achar a função de probabilidade condicional fX|Y(x | Y=2) = f(X = x, Y = 2)P(Y = 2) . Isso significa que vamos encontrar a probabilidade de ter consultas dado que já tivemos 2 vendas.
A fórmula para probabilidade condicional é:
Já sabemos que . Agora, vamos aplicar isso para cada valor de :
  1. Para :
  2. Para :
  3. Para :
  4. Para :
  5. Para :
  6. Para :

Passo 4

Vamos calcular cada fX|Y(0 | 2) = 00,07 = 0 :
  1. Para fX|Y(1 | 2) = 00,07 = 0 :
fX|Y(2 | 2) = 0,020,07 approx 0,2857
  1. Para fX|Y(3 | 2) = 0,020,07 approx 0,2857 :
fX|Y(4 | 2) = 0,010,07 approx 0,1429
  1. Para fX|Y(5 | 2) = 0,020,07 approx 0,2857 :
  1. Para :
  1. Para :
  1. Para :

Resposta

A função de probabilidade do número de consultas necessárias quando houve 2 vendas é:
fX|Y(x | Y=2) = 0 & se x = 0 0 & se x = 1 0,2857 & se x = 2 0,2857 & se x = 3 0,1429 & se x = 4 0,2857 & se x = 5

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f(x,y) Y
0 1 2 3
X 0 0,4 0 0 0
1 0,15 0,10 0 0
2 0,08 0,05 0,02 0
3 0,04 0,02 0,02 0
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X 0 0,4 0 0 0
1 0,15 0,10 0 0
2 0,08 0,05 0,02 0
3 0,04 0,02 0,02 0
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