No inicio do ano, um estudante decide começar um empreendimento relacionado com sua pesquisa. Existe a possibilidade de encontrar apoio financeiro para o empreendimento, oferecido pelo município. A probabilidade de obter o financiamento é de 0,2 . Sabe-se que a probabilidade do empreendimento ter sucesso até em 2 anos, quando financiado, é de 0,7 , enquanto no caso de não ter financiamento, a probabilidade de sucesso em 2 anos cai para 0,25 . ( 3 pt )
© Se ao final do segundo ano sabe-se que o empreendimento foi bem sucedido, qual é a probabilidade de ter tido financiamento?

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um estudante que pode conseguir financiamento para seu empreendimento com uma probabilidade de 0,2. Se tiver financiamento, a chance de sucesso em 2 anos é de 0,7. Sem financiamento, essa chance cai para 0,25. A pergunta é: sabendo que o empreendimento foi bem-sucedido após 2 anos, qual a probabilidade de ele ter tido financiamento?
Aqui, vamos usar o conceito de Probabilidade Condicional e o Teorema de Bayes para resolver o problema.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os eventos:
  • : conseguir financiamento.
  • : sucesso do empreendimento.
Sabemos que:
  • (probabilidade de conseguir financiamento).
  • (probabilidade de sucesso dado que teve financiamento).
  • (probabilidade de sucesso sem financiamento).

Passo 3

Queremos encontrar P(F|S) = P(S|F) cdot P(F)P(S) , ou seja, a probabilidade de ter financiamento dado que o empreendimento foi sucedido.
Para isso, usamos o Teorema de Bayes:

Passo 4

Primeiro, precisamos calcular P(S) = P(S|F) cdot P(F) + P(S|neg F) cdot P(neg F) , a probabilidade total de sucesso. Usamos a Regra da Probabilidade Total:
P(S) = 0,7 cdot 0,2 + 0,25 cdot 0,8 = 0,14 + 0,2 = 0,34
Sabemos que . Então:

Passo 5

Agora, aplicamos esses valores no Teorema de Bayes:
P(F|S) = 0,7 cdot 0,20,34 = 0,140,34 approx 0,4118

Resposta

A probabilidade de ter tido financiamento dado que o empreendimento foi bem-sucedido é aproximadamente 41,18%.

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