Considere o vetor aleatório (X, Y) onde X representa o número de consultas por minuto em um site de internet, e Y o número de vendas por minuto no site. A função de probabilidade conjunta é dada na tabela: (2 pts)
f(x, y) Y
0 1 2 3
X 0 0,4 0 0 0
1 0,15 0,10 0 0
2 0,08 0,05 0,02 0
3 0,04 0,02 0,02 0
4 0,02 0,02 0,01 0,01
5 0,01 0,01 0,02 0,02
(d) As variáveis são independentes? Justifique.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um vetor aleatório (X, Y) onde X representa o número de consultas por minuto em um site de internet e Y representa o número de vendas por minuto no mesmo site. A tabela fornecida mostra a função de probabilidade conjunta f(x, y). Nosso objetivo aqui é determinar se as variáveis X e Y são independentes.

Passo 2

Para verificar se duas variáveis aleatórias são independentes, usamos a definição de independência. Duas variáveis X e Y são independentes se, para todo x e y, a probabilidade conjunta f(x, y) for igual ao produto das probabilidades marginais fX(x) e fY(y). Em fórmulas:
f(x, y) = fX(x) times fY(y)
Se essa igualdade for verdadeira para todos os pares (x, y), então X e Y são independentes.

Passo 3

Vamos calcular as probabilidades marginais fX(x) e fY(y) a partir da tabela de probabilidade conjunta.
Probabilidade Marginal de X ( fX(x)):
fX(x) = sumy f(x, y)
Calculando para cada valor de X:
  • Para X=0:
    fX(0) = 0,4 + 0 + 0 + 0 = 0,4
  • Para X=1:
    fX(1) = 0,15 + 0,10 + 0 + 0 = 0,25
  • Para X=2:
    fX(2) = 0,08 + 0,05 + 0,02 + 0 = 0,15
  • Para X=3:
    fX(3) = 0,04 + 0,02 + 0,02 + 0 = 0,10
  • Para X=4:
    fX(4) = 0,02 + 0,02 + 0,01 + 0,01 = 0,06
  • Para X=5:
    fX(5) = 0,01 + 0,01 + 0,02 + 0,02 = 0,06
Probabilidade Marginal de Y ( fY(y)):
fY(y) = sumx f(x, y)
Calculando para cada valor de Y:
  • Para Y=0:
    fY(0) = 0,4 + 0,15 + 0,08 + 0,04 + 0,02 + 0,01 = 0,70
  • Para Y=1:
    fY(1) = 0 + 0,10 + 0,05 + 0,02 + 0,02 + 0,01 = 0,20
  • Para Y=2:
    fY(2) = 0 + 0 + 0,02 + 0,02 + 0,01 + 0,02 = 0,07
  • Para Y=3:
    fY(3) = 0 + 0 + 0 + 0 + 0,01 + 0,02 = 0,03

Passo 4

Agora, vamos verificar se para cada par (x, y) a igualdade f(x, y) = fX(x) times fY(y) se mantém.
Vamos analisar alguns casos:
  • Para (X=0, Y=0):
    f(0,0) = 0,4 e fX(0) times fY(0) = 0,4 times 0,70 = 0,28
    Aqui, 0,4 neq 0,28, então a igualdade não se mantém.
  • Para (X=1, Y=1):
    f(1,1) = 0,10 e fX(1) times fY(1) = 0,25 times 0,20 = 0,05
    Aqui, 0,10 neq 0,05, novamente a igualdade não se mantém.
Como já encontramos casos onde a igualdade não é verdadeira, não é necessário verificar todos os pares.

Passo 5

Como encontramos pelo menos um par (x, y) onde f(x, y) neq fX(x) times fY(y), podemos concluir que as variáveis X e Y não são independentes.

Resposta

As variáveis X e Y não são independentes, pois a probabilidade conjunta f(x, y) não é igual ao produto das probabilidades marginais fX(x) times fY(y) para todos os pares (x, y).

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Considere o vetor aleatório (X, Y) onde X representa o número de consultas por minuto em um site de internet, e Y o número de vendas por minuto no site. A função de probabilidade conjunta é dada na tabela: (2 pts)
f(x, y) Y
0 1 2 3
X 0 0,4 0 0 0
1 0,15 0,10 0 0
2 0,08 0,05 0,02 0
3 0,04 0,02 0,02 0
4 0,02 0,02 0,01 0,01
5 0,01 0,01 0,02 0,02
(a) Encontre a função de probabilidade do número de consultas necessárias quando houve 2 vendas.
Suponha que X é uma variável aleatória contínua com função de densidade de probabilidade f(x). Então a função de distribuição é, para todo x:(1 pt)
(b) F(x)=integral-infty^x f(u) d u
De 100 crianças que frequentam uma creche, 15 são bebés com menos de 1 ano de idade. Vão ser selecionadas ao acaso, e independentemente, 10 crianças para uma atividade especial. Interessa conhecer o número de bebés com menos de 1 ano entre as 10 crianças selecionadas. ( 3 pts)
(b) Cual é a probabilidade de nesse grupo não irem bebés com menos de um ano?
Faça um programa seguindo os seguintes passos
  1. Carga e Inspeção dos Dados
    1.4. Calcule o número total de linhas e colunas do DataFrame.