Considere o vetor aleatório que representa o número de consultas anuais que um grupo de utentes requereu no serviço público e no serviço privado , caracterizado pela seguinte função de probabilidade conjunta.
2 3 4
1 0
2 0
3 0
(a) Obtenha as funções de probabilidade marginais e as funções de distribuição marginais do número de consultas no serviço público e no serviço privado.
(b) Determine a probabilidade de, ao escolher um utente ao acaso, este ter tido um produto do número de consultas par.
© Qual a probabilidade de um utente selecionado ao acaso ter tido no máximo 2 consultas no serviço público e no máximo 3 no serviço privado?
(d) Construa a função de probabilidade do número de consultas no serviço privado, apenas para os utentes que tiveram 2 consultas no público.
(e) Calcule a probabilidade de, ao escolher ao acaso, um utente de entre os que tiveram 3 ou mais consultas no serviço privado, este ter tido 3 consultas no serviço público.
(f) Determine a probabilidade de um utente, escolhido ao acaso, ter tido 3 consultas no serviço público.
(g) Qual a probabilidade de, ao escolher um utente ao acaso, este ter tido 2 consultas no serviço privado, sabendo que teve menos de 6 consultas, ou seja, ?
(h) Será que o número de consultas no serviço público é independente do número de consultas no serviço privado? Justifique.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um exercício sobre probabilidade conjunta envolvendo o número de consultas em serviços públicos ( ) e privados ( ). O que precisamos fazer no item (a) é encontrar as funções de probabilidade marginais e as funções de distribuição marginais para e . Isso significa que vamos calcular as probabilidades individuais de e de independentemente um do outro. Para isso, vamos somar as probabilidades na tabela que você forneceu.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são funções de probabilidade marginais. Basicamente, para obter a marginal de , somamos todas as probabilidades que têm o mesmo valor de , ignorando . O mesmo vale para a marginal de , somando todas as probabilidades com o mesmo valor de , ignorando .

Passo 3

Vamos calcular a função de probabilidade marginal de , denotada por . Usamos os valores da tabela:
  • Para :
  • Para :
  • Para :
Então, a função de probabilidade marginal de é:
á

Passo 4

Agora, vamos calcular a função de probabilidade marginal de , denotada por . Novamente, somamos as probabilidades para cada valor de :
  • Para :
  • Para :
  • Para :
Então, a função de probabilidade marginal de é:
á

Passo 5

Agora que temos as funções de probabilidade marginais, vamos para as funções de distribuição marginais. A função de distribuição marginal acumulada para uma variável, digamos , é a soma das probabilidades de todos os valores de até um determinado ponto.
Para :
Calculando:
  • Para :
  • Para :
  • Para :
Então:

Passo 6

Fazendo o mesmo para :
Calculando:
  • Para :
  • Para :
  • Para :
Então:

Resposta

Enfim, as funções de probabilidade marginais são:
á
á
E as funções de distribuição marginais são:

Exercícios relacionados

(Johnson e Bhattacharyya, 2019) Considere um experimento aleatório com espaço amostral . Seja as seguintes probabilidade para cada elemento.
Considere os seguinte eventos,
Expresse e determina a probabilidade de cada conjunto:
(a) .
Numa empresa de aluguer de aviões informam-nos que a procura diária de aviões de passageiros, , e a procura diária de aviões de transporte rápido de correio, , constitui um par aleatório cuja função de probabilidade conjunta é dada por:
| | | | | | |
| :—: | :—: | :—: | :—: | :—: | |
| | | 0 | 1 | 2 | Total |
| | 0 | 0 | | | 0,25 |
| | 1 | | | 0,05 | 0,35 |
| | 2 | 0,1 | | 0,1 | |
| | 3 | 0 | 0,1 | | |
| | Total | 0,2 | 0,5 | | |
(a) Complete a tabela, determinando o valor de .
(b) Existe alguma relação entre a procura diária de aviões de passageiros e a procura diária de aviões de transporte? Justifique.
© Determine e .
Os dados que se seguem referem-se ao comprimento ( em cm ) de um grupo de bebés prematuros (idade gestacional inferior a 36 semanas) nascidos durante um mês numa maternidade.
29,9 40,2 37,8 19,7 30,0 29,7 19,4 39,2 24,7 20,4
19,1 34,7 33,5 18,3 19,4 27,3 38,2 16,2 36,8 33,1
41,4 13,6 32,2 24,3 19,1 37,4 23,8 33,3 31,6 20,1
17,2 13,3 37,7 12,6 39,6 24,6 18,6 18,0 33,7 38,2
(a) Ordene os dados e calcule a média, mediana, desvio padrão, quartis e o quantil de ordem . Encontre um valor tal que dos bebés observados tenham comprimentos superiores a esse valor.
(b) Faça um agrupamento dos dados em classes, de forma conveniente, e represente-os graficamente através de um histograma.
© Calcule a média, a mediana e variância para os dados agrupados. Compare estes valores aproximados com os correspondentes valores exatos obtidos no primeiro item.
Suponha que a necessidade diária de um dado medicamento num dado hospital pode ser descrita pela v.a. com a seguinte função densidade de probabilidade:
á
(a) Determine o valor de c.
(b) Calcule a .
© Encontre uma expressão para os quantil p. Calcule os quartis.
(d) Calcule e .