Considere o vetor aleatório
que representa o número de consultas anuais que um grupo de utentes requereu no serviço público
e no serviço privado
, caracterizado pela seguinte função de probabilidade conjunta.
|
|||
---|---|---|---|
|
2 | 3 | 4 |
1 |
|
|
0 |
2 |
|
0 |
|
3 |
|
|
0 |
(a) Obtenha as funções de probabilidade marginais e as funções de distribuição marginais do número de consultas no serviço público e no serviço privado.
(b) Determine a probabilidade de, ao escolher um utente ao acaso, este ter tido um produto do número de consultas par.
© Qual a probabilidade de um utente selecionado ao acaso ter tido no máximo 2 consultas no serviço público e no máximo 3 no serviço privado?
(d) Construa a função de probabilidade do número de consultas no serviço privado, apenas para os utentes que tiveram 2 consultas no público.
(e) Calcule a probabilidade de, ao escolher ao acaso, um utente de entre os que tiveram 3 ou mais consultas no serviço privado, este ter tido 3 consultas no serviço público.
(f) Determine a probabilidade de um utente, escolhido ao acaso, ter tido 3 consultas no serviço público.
(g) Qual a probabilidade de, ao escolher um utente ao acaso, este ter tido 2 consultas no serviço privado, sabendo que teve menos de 6 consultas, ou seja, ?
(h) Será que o número de consultas no serviço público é independente do número de consultas no serviço privado? Justifique.
(b) Determine a probabilidade de, ao escolher um utente ao acaso, este ter tido um produto do número de consultas par.
© Qual a probabilidade de um utente selecionado ao acaso ter tido no máximo 2 consultas no serviço público e no máximo 3 no serviço privado?
(d) Construa a função de probabilidade do número de consultas no serviço privado, apenas para os utentes que tiveram 2 consultas no público.
(e) Calcule a probabilidade de, ao escolher ao acaso, um utente de entre os que tiveram 3 ou mais consultas no serviço privado, este ter tido 3 consultas no serviço público.
(f) Determine a probabilidade de um utente, escolhido ao acaso, ter tido 3 consultas no serviço público.
(g) Qual a probabilidade de, ao escolher um utente ao acaso, este ter tido 2 consultas no serviço privado, sabendo que teve menos de 6 consultas, ou seja,
(h) Será que o número de consultas no serviço público é independente do número de consultas no serviço privado? Justifique.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um exercício sobre probabilidade conjunta envolvendo o número de consultas em serviços públicos (
) e privados (
). O que precisamos fazer no item (a) é encontrar as funções de probabilidade marginais e as funções de distribuição marginais para
e
. Isso significa que vamos calcular as probabilidades individuais de
e de
independentemente um do outro. Para isso, vamos somar as probabilidades na tabela que você forneceu.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são funções de probabilidade marginais. Basicamente, para obter a marginal de
, somamos todas as probabilidades que têm o mesmo valor de
, ignorando
. O mesmo vale para a marginal de
, somando todas as probabilidades com o mesmo valor de
, ignorando
.
Passo 3
Vamos calcular a função de probabilidade marginal de
, denotada por
. Usamos os valores da tabela:
- Para
: - Para
: - Para
:
Então, a função de probabilidade marginal de
é:
Passo 4
Agora, vamos calcular a função de probabilidade marginal de
, denotada por
. Novamente, somamos as probabilidades para cada valor de
:
- Para
: - Para
: - Para
:
Então, a função de probabilidade marginal de
é:
Passo 5
Agora que temos as funções de probabilidade marginais, vamos para as funções de distribuição marginais. A função de distribuição marginal acumulada para uma variável, digamos
, é a soma das probabilidades de todos os valores de
até um determinado ponto.
Para
:
Calculando:
- Para
: - Para
: - Para
:
Então:
Passo 6
Fazendo o mesmo para
:
Calculando:
- Para
: - Para
: - Para
:
Então:
Resposta
Enfim, as funções de probabilidade marginais são:
E as funções de distribuição marginais são:
Exercícios relacionados
(Johnson e Bhattacharyya, 2019) Considere um experimento aleatório com espaço amostral
. Seja as seguintes probabilidade para cada elemento.
Considere os seguinte eventos,
Expresse e determina a probabilidade de cada conjunto:
(a) .
(a)
Numa empresa de aluguer de aviões informam-nos que a procura diária de aviões de passageiros,
, e a procura diária de aviões de transporte rápido de correio,
, constitui um par aleatório
cuja função de probabilidade conjunta é dada por:
| | | | | | |
| :—: | :—: | :—: | :—: | :—: | |
| | | 0 | 1 | 2 | Total |
| | 0 | 0 | | | 0,25 |
| | 1 | | | 0,05 | 0,35 |
| | 2 | 0,1 | | 0,1 | |
| | 3 | 0 | 0,1 | | |
| | Total | 0,2 | 0,5 | | |
(a) Complete a tabela, determinando o valor de .
(b) Existe alguma relação entre a procura diária de aviões de passageiros e a procura diária de aviões de transporte? Justifique.
© Determine e
.
| | |
| :—: | :—: | :—: | :—: | :—: | |
| |
|
| | 1 | | | 0,05 | 0,35 |
| | 2 | 0,1 | | 0,1 |
| | 3 | 0 | 0,1 | |
| | Total | 0,2 | 0,5 | | |
(a) Complete a tabela, determinando o valor de
(b) Existe alguma relação entre a procura diária de aviões de passageiros e a procura diária de aviões de transporte? Justifique.
© Determine
Os dados que se seguem referem-se ao comprimento ( em cm ) de um grupo de bebés prematuros (idade gestacional inferior a 36 semanas) nascidos durante um mês numa maternidade.
29,9 | 40,2 | 37,8 | 19,7 | 30,0 | 29,7 | 19,4 | 39,2 | 24,7 | 20,4 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
19,1 | 34,7 | 33,5 | 18,3 | 19,4 | 27,3 | 38,2 | 16,2 | 36,8 | 33,1 |
41,4 | 13,6 | 32,2 | 24,3 | 19,1 | 37,4 | 23,8 | 33,3 | 31,6 | 20,1 |
17,2 | 13,3 | 37,7 | 12,6 | 39,6 | 24,6 | 18,6 | 18,0 | 33,7 | 38,2 |
(a) Ordene os dados e calcule a média, mediana, desvio padrão, quartis e o quantil de ordem
. Encontre um valor tal que
dos bebés observados tenham comprimentos superiores a esse valor.
(b) Faça um agrupamento dos dados em classes, de forma conveniente, e represente-os graficamente através de um histograma.
© Calcule a média, a mediana e variância para os dados agrupados. Compare estes valores aproximados com os correspondentes valores exatos obtidos no primeiro item.
(b) Faça um agrupamento dos dados em classes, de forma conveniente, e represente-os graficamente através de um histograma.
© Calcule a média, a mediana e variância para os dados agrupados. Compare estes valores aproximados com os correspondentes valores exatos obtidos no primeiro item.
Suponha que a necessidade diária de um dado medicamento num dado hospital pode ser descrita pela v.a.
com a seguinte função densidade de probabilidade:
(a) Determine o valor de c.
(b) Calcule a .
© Encontre uma expressão para os quantil p. Calcule os quartis.
(d) Calcule e
.
(b) Calcule a
© Encontre uma expressão para os quantil p. Calcule os quartis.
(d) Calcule