Considere o vetor aleatório (X, Y) que representa o número de consultas anuais que um grupo de utentes requereu no serviço público (X) e no serviço privado (Y), caracterizado pela seguinte função de probabilidade conjunta.
y
x 2 3 4
1 1 / 12 1 / 6 0
2 1 / 6 0 1 / 3
3 1 / 12 1 / 6 0
(a) Obtenha as funções de probabilidade marginais e as funções de distribuição marginais do número de consultas no serviço público e no serviço privado.
(b) Determine a probabilidade de, ao escolher um utente ao acaso, este ter tido um produto do número de consultas par.
© Qual a probabilidade de um utente selecionado ao acaso ter tido no máximo 2 consultas no serviço público e no máximo 3 no serviço privado?
(d) Construa a função de probabilidade do número de consultas no serviço privado, apenas para os utentes que tiveram 2 consultas no público.
(e) Calcule a probabilidade de, ao escolher ao acaso, um utente de entre os que tiveram 3 ou mais consultas no serviço privado, este ter tido 3 consultas no serviço público.
(f) Determine a probabilidade de um utente, escolhido ao acaso, ter tido 3 consultas no serviço público.
(g) Qual a probabilidade de, ao escolher um utente ao acaso, este ter tido 2 consultas no serviço privado, sabendo que teve menos de 6 consultas, ou seja, P(X=2 mid X+Y <= 5) ?
(h) Será que o número de consultas no serviço público é independente do número de consultas no serviço privado? Justifique.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um exercício sobre probabilidade conjunta envolvendo o número de consultas em serviços públicos ( X) e privados ( Y). O que precisamos fazer no item (a) é encontrar as funções de probabilidade marginais e as funções de distribuição marginais para X e Y. Isso significa que vamos calcular as probabilidades individuais de X e de Y independentemente um do outro. Para isso, vamos somar as probabilidades na tabela que você forneceu.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são funções de probabilidade marginais. Basicamente, para obter a marginal de X, somamos todas as probabilidades que têm o mesmo valor de X, ignorando Y. O mesmo vale para a marginal de Y, somando todas as probabilidades com o mesmo valor de Y, ignorando X.

Passo 3

Vamos calcular a função de probabilidade marginal de X, denotada por PX(x). Usamos os valores da tabela:
  • Para X=1: PX(1) = 112 + 16 + 0 = 112 + 212 = 312 = 14
  • Para X=2: PX(2) = 16 + 0 + 13 = 212 + 412 = 612 = 12
  • Para X=3: PX(3) = 112 + 16 + 0 = 112 + 212 = 312 = 14
Então, a função de probabilidade marginal de X é:
PX(x) = 14 & se x=1,3 12 & se x=2 0 & caso contrário á

Passo 4

Agora, vamos calcular a função de probabilidade marginal de Y, denotada por PY(y). Novamente, somamos as probabilidades para cada valor de Y:
  • Para Y=2: PY(2) = 112 + 16 + 112 = 112 + 212 + 112 = 412 = 13
  • Para Y=3: PY(3) = 16 + 0 + 16 = 212 + 212 = 412 = 13
  • Para Y=4: PY(4) = 0 + 13 + 0 = 412 = 13
Então, a função de probabilidade marginal de Y é:
PY(y) = 13 & se y=2,3,4 0 & caso contrário á

Passo 5

Agora que temos as funções de probabilidade marginais, vamos para as funções de distribuição marginais. A função de distribuição marginal acumulada para uma variável, digamos X, é a soma das probabilidades de todos os valores de X até um determinado ponto.
Para X:
FX(x) = PX(X <= x)
Calculando:
  • Para x=1: FX(1) = PX(1) = 14
  • Para x=2: FX(2) = PX(1) + PX(2) = 14 + 12 = 34
  • Para x=3: FX(3) = PX(1) + PX(2) + PX(3) = 14 + 12 + 14 = 1
Então:
FX(x) = 0 & se x < 1 14 & se 1 <= x < 2 34 & se 2 <= x < 3 1 & se x >= 3

Passo 6

Fazendo o mesmo para Y:
FY(y) = PY(Y <= y)
Calculando:
  • Para y=2: FY(2) = PY(2) = 13
  • Para y=3: FY(3) = PY(2) + PY(3) = 13 + 13 = 23
  • Para y=4: FY(4) = PY(2) + PY(3) + PY(4) = 13 + 13 + 13 = 1
Então:
FY(y) = 0 & se y < 2 13 & se 2 <= y < 3 23 & se 3 <= y < 4 1 & se y >= 4

Resposta

Enfim, as funções de probabilidade marginais são:
PX(x) = 14 & se x=1,3 12 & se x=2 0 & caso contrário á
PY(y) = 13 & se y=2,3,4 0 & caso contrário á
E as funções de distribuição marginais são:
FX(x) = 0 & se x < 1 14 & se 1 <= x < 2 34 & se 2 <= x < 3 1 & se x >= 3
FY(y) = 0 & se y < 2 13 & se 2 <= y < 3 23 & se 3 <= y < 4 1 & se y >= 4

Exercícios relacionados