Numa empresa de aluguer de aviões informam-nos que a procura diária de aviões de passageiros, X, e a procura diária de aviões de transporte rápido de correio, Y, constitui um par aleatório (X, Y) cuja função de probabilidade conjunta é dada por:
| | | Y | | | |
| :—: | :—: | :—: | :—: | :—: | |
| | fX Y(x, y) | 0 | 1 | 2 | Total |
| X | 0 | 0 | | | 0,25 |
| | 1 | | | 0,05 | 0,35 |
| | 2 | 0,1 | | 0,1 | p+0,2 |
| | 3 | 0 | 0,1 | | p |
| | Total | 0,2 | 0,5 | | |
(a) Complete a tabela, determinando o valor de p.
(b) Existe alguma relação entre a procura diária de aviões de passageiros e a procura diária de aviões de transporte? Justifique.
© Determine E(Y) e Var(Y).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre a demanda diária de dois tipos de aviões numa empresa: aviões de passageiros ( X) e aviões de transporte rápido de correio ( Y). A gente tem uma tabela com as probabilidades conjuntas de (X, Y), mas tem alguns valores faltando, que precisam ser encontrados. Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade, especialmente a soma das probabilidades em uma distribuição conjunta deve ser igual a 1. Vamos por partes responder as questões (a), (b) e ©.

Passo 2

(a) Completar a tabela determinando o valor de p
Primeiro, vamos somar todas as probabilidades conhecidas e igualar a soma a 1 para encontrar o valor de p.
Na tabela, temos:
  • Linha X=0: 0 + ? + ? = 0,25
  • Linha X=1: ? + ? + 0,05 = 0,35
  • Linha X=2: 0,1 + ? + 0,1 = p + 0,2
  • Linha X=3: 0 + 0,1 + ? = p
Além disso, a soma total das probabilidades é 1, então:
0,25 (linha X=0) + 0,35 (linha X=1) + ( p + 0,2) (linha X=2) + p (linha X=3) = 1
Somando:
0,25 + 0,35 + p + 0,2 + p = 1
0,8 + 2p = 1
Agora, isolando p:
2p = 1 - 0,8
2p = 0,2
p = 0,1

Passo 3

(b) Verificar se existe relação entre a procura diária de aviões de passageiros e de transporte
Para verificar se X e Y são independentes, precisamos ver se a probabilidade conjunta P(X,Y) é igual ao produto das probabilidades marginais P(X) cdot P(Y) para todos os valores de X e Y.
Se existirem pelo menos um par (X,Y) onde P(X,Y) neq P(X) cdot P(Y), então as variáveis são dependentes.
Vamos verificar com o valor de p=0,1 que encontramos.

Passo 4

© Determinar E(Y) e Var(Y)
Para encontrar a esperança matemática E(Y) e a variância Var(Y) de Y, precisamos primeiro encontrar a distribuição marginal de Y, ou seja, as probabilidades de cada valor de Y independentemente de X.

Passo 5

Resposta

(a) O valor de p é 0,1.
(b) Existe uma relação de dependência entre a procura diária de aviões de passageiros e de transporte, já que P(X,Y) neq P(X) cdot P(Y) para alguns valores de X e Y.
© A esperança matemática de Y é E(Y) = 0,5 e a variância é Var(Y) = 0,35.

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