Numa empresa de aluguer de aviões informam-nos que a procura diária de aviões de passageiros, , e a procura diária de aviões de transporte rápido de correio, , constitui um par aleatório cuja função de probabilidade conjunta é dada por:
| | | | | | |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | |
| | | 0 | 1 | 2 | Total |
| | 0 | 0 | | | 0,25 |
| | 1 | | | 0,05 | 0,35 |
| | 2 | 0,1 | | 0,1 | |
| | 3 | 0 | 0,1 | | |
| | Total | 0,2 | 0,5 | | |
(a) Complete a tabela, determinando o valor de .
(b) Existe alguma relação entre a procura diária de aviões de passageiros e a procura diária de aviões de transporte? Justifique.
(c) Determine e .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre a demanda diária de dois tipos de aviões numa empresa: aviões de passageiros ( ) e aviões de transporte rápido de correio ( ). A gente tem uma tabela com as probabilidades conjuntas de , mas tem alguns valores faltando, que precisam ser encontrados. Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade, especialmente a soma das probabilidades em uma distribuição conjunta deve ser igual a 1. Vamos por partes responder as questões (a), (b) e (c).
Passo 2
**(a) Completar a tabela determinando o valor de **
Primeiro, vamos somar todas as probabilidades conhecidas e igualar a soma a 1 para encontrar o valor de .
Na tabela, temos:
- Linha : 0 + ? + ? = 0,25
- Linha : ? + ? + 0,05 = 0,35
- Linha : 0,1 + ? + 0,1 =
- Linha : 0 + 0,1 + ? =
Além disso, a soma total das probabilidades é 1, então:
0,25 (linha X=0) + 0,35 (linha X=1) + ( ) (linha X=2) + (linha X=3) = 1
Somando:
0,25 + 0,35 + p + 0,2 + p = 1
0,8 + 2p = 1
Agora, isolando :
2p = 1 - 0,8
2p = 0,2
p = 0,1
Passo 3
**(b) Verificar se existe relação entre a procura diária de aviões de passageiros e de transporte**
Para verificar se e são independentes, precisamos ver se a probabilidade conjunta é igual ao produto das probabilidades marginais para todos os valores de e .
Se existirem pelo menos um par onde , então as variáveis são dependentes.
Vamos verificar com o valor de que encontramos.
Passo 4
**(c) Determinar e **
Para encontrar a esperança matemática e a variância de , precisamos primeiro encontrar a distribuição marginal de , ou seja, as probabilidades de cada valor de independentemente de .
Passo 5
Resposta
**(a)** O valor de é .
**(b)** Existe uma relação de dependência entre a procura diária de aviões de passageiros e de transporte, já que para alguns valores de e .
**(c)** A esperança matemática de é e a variância é .
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Expresse e determina a probabilidade de cada conjunto:
(a) .
Considere o vetor aleatório que representa o número de consultas anuais que um grupo de utentes requereu no serviço público e no serviço privado , caracterizado pela seguinte função de probabilidade conjunta.
| | | | |
| :---: | :---: | :---: | :---: |
| | 2 | 3 | 4 |
| 1 | | | 0 |
| 2 | | 0 | |
| 3 | | | 0 |
(a) Obtenha as funções de probabilidade marginais e as funções de distribuição marginais do número de consultas no serviço público e no serviço privado.
(b) Determine a probabilidade de, ao escolher um utente ao acaso, este ter tido um produto do número de consultas par.
(c) Qual a probabilidade de um utente selecionado ao acaso ter tido no máximo 2 consultas no serviço público e no máximo 3 no serviço privado?
(d) Construa a função de probabilidade do número de consultas no serviço privado, apenas para os utentes que tiveram 2 consultas no público.
(e) Calcule a probabilidade de, ao escolher ao acaso, um utente de entre os que tiveram 3 ou mais consultas no serviço privado, este ter tido 3 consultas no serviço público.
(f) Determine a probabilidade de um utente, escolhido ao acaso, ter tido 3 consultas no serviço público.
(g) Qual a probabilidade de, ao escolher um utente ao acaso, este ter tido 2 consultas no serviço privado, sabendo que teve menos de 6 consultas, ou seja, ?
(h) Será que o número de consultas no serviço público é independente do número de consultas no serviço privado? Justifique.