Suponha que a necessidade diária de um dado medicamento num dado hospital pode ser descrita pela v.a. com a seguinte função densidade de probabilidade:
á
(a) Determine o valor de c.
(b) Calcule a .
© Encontre uma expressão para os quantil p. Calcule os quartis.
(d) Calcule e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta a função densidade de probabilidade de uma variável aleatória contínua que representa a necessidade diária de um medicamento em um hospital. A função é definida por:
á
Nosso objetivo é resolver as partes (a) a (d) utilizando conceitos de cálculo de probabilidades, funções densidade, quantis e estatísticas como esperança e variância.

Passo 2

Parte (a): Determinar o valor de .
Para que seja uma função densidade de probabilidade válida, a integral de sobre todo o seu domínio deve ser igual a 1. Ou seja:
Como é diferente de zero apenas entre 0 e 3, a integral fica:

Passo 3

Vamos calcular a integral:
Para que a integral seja igual a 1:

Passo 4

Resposta da parte (a):
O valor de é .

Passo 5

Parte (b): Calcular .
Queremos encontrar a probabilidade de estar entre 1 e 2. Isso é dado pela integral da função densidade entre esses limites:
Já sabemos que , então substituímos:

Passo 6

Calculando a integral:

Passo 7

Resposta da parte (b):
.

Passo 8

Parte ©: Encontrar uma expressão para os quantis e calcular os quartis.
Os quantis são valores que dividem a distribuição em percentis específicos. O quantil é definido por:
onde é a função de distribuição acumulada (CDF) de .
Primeiro, vamos encontrar .

Passo 9

A função de distribuição acumulada é a integral da função densidade desde até . Como é zero para e , temos:
Substituindo :

Passo 10

Para encontrar o quantil , resolvemos:
Agora, calculamos os quartis, que são os quantis para , e :
  • Primeiro quartil ( ):
  • Segundo quartil ( ) - mediana:
  • Terceiro quartil ( ):

Passo 11

Resposta da parte ©:
A expressão para o quantil é . Os quartis são aproximadamente:
  • Primeiro quartil ( ): 1,5
  • Segundo quartil ( ): 2,121
  • Terceiro quartil ( ): 2,598

Passo 12

Parte (d): Calcular e .
Primeiro, vamos calcular a esperança :
Substituindo :

Passo 13

Agora, vamos calcular :
Substituindo :
Então, a variância é:

Resposta

(a)
(b)
© Quantil : ;
  • Primeiro quartil: 1,5
  • Segundo quartil: ≈2,121
  • Terceiro quartil: ≈2,598
(d) e

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Os dados que se seguem referem-se ao comprimento ( em cm ) de um grupo de bebés prematuros (idade gestacional inferior a 36 semanas) nascidos durante um mês numa maternidade.
29,9 40,2 37,8 19,7 30,0 29,7 19,4 39,2 24,7 20,4
19,1 34,7 33,5 18,3 19,4 27,3 38,2 16,2 36,8 33,1
41,4 13,6 32,2 24,3 19,1 37,4 23,8 33,3 31,6 20,1
17,2 13,3 37,7 12,6 39,6 24,6 18,6 18,0 33,7 38,2
(a) Ordene os dados e calcule a média, mediana, desvio padrão, quartis e o quantil de ordem . Encontre um valor tal que dos bebés observados tenham comprimentos superiores a esse valor.
(b) Faça um agrupamento dos dados em classes, de forma conveniente, e represente-os graficamente através de um histograma.
© Calcule a média, a mediana e variância para os dados agrupados. Compare estes valores aproximados com os correspondentes valores exatos obtidos no primeiro item.
Considere o vetor aleatório que representa o número de consultas anuais que um grupo de utentes requereu no serviço público e no serviço privado , caracterizado pela seguinte função de probabilidade conjunta.
2 3 4
1 0
2 0
3 0
(a) Obtenha as funções de probabilidade marginais e as funções de distribuição marginais do número de consultas no serviço público e no serviço privado.
(b) Determine a probabilidade de, ao escolher um utente ao acaso, este ter tido um produto do número de consultas par.
© Qual a probabilidade de um utente selecionado ao acaso ter tido no máximo 2 consultas no serviço público e no máximo 3 no serviço privado?
(d) Construa a função de probabilidade do número de consultas no serviço privado, apenas para os utentes que tiveram 2 consultas no público.
(e) Calcule a probabilidade de, ao escolher ao acaso, um utente de entre os que tiveram 3 ou mais consultas no serviço privado, este ter tido 3 consultas no serviço público.
(f) Determine a probabilidade de um utente, escolhido ao acaso, ter tido 3 consultas no serviço público.
(g) Qual a probabilidade de, ao escolher um utente ao acaso, este ter tido 2 consultas no serviço privado, sabendo que teve menos de 6 consultas, ou seja, ?
(h) Será que o número de consultas no serviço público é independente do número de consultas no serviço privado? Justifique.
Dada a distribuição de frequências de uma população com classes desiguais a seguir, faça o que se pede:
CLASSE
30 0,15
100
b) Obtenha a média da distribuição.
Calcule .