Suponha que a necessidade diária de um dado medicamento num dado hospital pode ser descrita pela v.a.
com a seguinte função densidade de probabilidade:
(a) Determine o valor de c.
(b) Calcule a
.
© Encontre uma expressão para os quantil p. Calcule os quartis.
(d) Calcule
e
.
(b) Calcule a
© Encontre uma expressão para os quantil p. Calcule os quartis.
(d) Calcule
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta a função densidade de probabilidade de uma variável aleatória contínua
que representa a necessidade diária de um medicamento em um hospital. A função é definida por:
Nosso objetivo é resolver as partes (a) a (d) utilizando conceitos de cálculo de probabilidades, funções densidade, quantis e estatísticas como esperança e variância.
Passo 2
Parte (a): Determinar o valor de
.
Para que
seja uma função densidade de probabilidade válida, a integral de
sobre todo o seu domínio deve ser igual a 1. Ou seja:
Como
é diferente de zero apenas entre 0 e 3, a integral fica:
Passo 3
Vamos calcular a integral:
Para que a integral seja igual a 1:
Passo 4
Resposta da parte (a):
O valor de é
.
O valor de
Passo 5
Parte (b): Calcular
.
Queremos encontrar a probabilidade de
estar entre 1 e 2. Isso é dado pela integral da função densidade entre esses limites:
Já sabemos que
, então substituímos:
Passo 6
Calculando a integral:
Passo 7
Resposta da parte (b):
.
Passo 8
Parte ©: Encontrar uma expressão para os quantis
e calcular os quartis.
Os quantis são valores que dividem a distribuição em percentis específicos. O quantil
é definido por:
onde
é a função de distribuição acumulada (CDF) de
.
Primeiro, vamos encontrar
.
Passo 9
A função de distribuição acumulada
é a integral da função densidade
desde
até
. Como
é zero para
e
, temos:
Substituindo
:
Passo 10
Para encontrar o quantil
, resolvemos:
Agora, calculamos os quartis, que são os quantis para
,
e
:
- Primeiro quartil (
):
- Segundo quartil (
) - mediana:
- Terceiro quartil (
):
Passo 11
Resposta da parte ©:
A expressão para o quantil é
. Os quartis são aproximadamente:
A expressão para o quantil
- Primeiro quartil (
): 1,5 - Segundo quartil (
): 2,121 - Terceiro quartil (
): 2,598
Passo 12
Parte (d): Calcular
e
.
Primeiro, vamos calcular a esperança
:
Substituindo
:
Passo 13
Agora, vamos calcular
:
Substituindo
:
Então, a variância é:
Resposta
(a)
(b)
© Quantil
:
;
- Primeiro quartil: 1,5
- Segundo quartil: ≈2,121
- Terceiro quartil: ≈2,598
(d)
e