Suponha que a necessidade diária de um dado medicamento num dado hospital pode ser descrita pela v.a.
com a seguinte função densidade de probabilidade:
(a) Determine o valor de c.
(b) Calcule a
.
© Encontre uma expressão para os quantil p. Calcule os quartis.
(d) Calcule
e
.
(b) Calcule a
© Encontre uma expressão para os quantil p. Calcule os quartis.
(d) Calcule
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta a função densidade de probabilidade de uma variável aleatória contínua
que representa a necessidade diária de um medicamento em um hospital. A função é definida por:
Nosso objetivo é resolver as partes (a) a (d) utilizando conceitos de cálculo de probabilidades, funções densidade, quantis e estatísticas como esperança e variância.
Passo 2
Parte (a): Determinar o valor de
.
Para que
seja uma função densidade de probabilidade válida, a integral de
sobre todo o seu domínio deve ser igual a 1. Ou seja:
Como
é diferente de zero apenas entre 0 e 3, a integral fica:
Passo 3
Vamos calcular a integral:
Para que a integral seja igual a 1:
Passo 4
Resposta da parte (a):
O valor de é
.
O valor de
Passo 5
Parte (b): Calcular
.
Queremos encontrar a probabilidade de
estar entre 1 e 2. Isso é dado pela integral da função densidade entre esses limites:
Já sabemos que
, então substituímos:
Passo 6
Calculando a integral:
Passo 7
Resposta da parte (b):
.
Passo 8
Parte ©: Encontrar uma expressão para os quantis
e calcular os quartis.
Os quantis são valores que dividem a distribuição em percentis específicos. O quantil
é definido por:
onde
é a função de distribuição acumulada (CDF) de
.
Primeiro, vamos encontrar
.
Passo 9
A função de distribuição acumulada
é a integral da função densidade
desde
até
. Como
é zero para
e
, temos:
Substituindo
:
Passo 10
Para encontrar o quantil
, resolvemos:
Agora, calculamos os quartis, que são os quantis para
,
e
:
- Primeiro quartil (
):
- Segundo quartil (
) - mediana:
- Terceiro quartil (
):
Passo 11
Resposta da parte ©:
A expressão para o quantil é
. Os quartis são aproximadamente:
A expressão para o quantil
- Primeiro quartil (
): 1,5 - Segundo quartil (
): 2,121 - Terceiro quartil (
): 2,598
Passo 12
Parte (d): Calcular
e
.
Primeiro, vamos calcular a esperança
:
Substituindo
:
Passo 13
Agora, vamos calcular
:
Substituindo
:
Então, a variância é:
Resposta
(a)
(b)
© Quantil
:
;
- Primeiro quartil: 1,5
- Segundo quartil: ≈2,121
- Terceiro quartil: ≈2,598
(d)
e
Exercícios relacionados
Os dados que se seguem referem-se ao comprimento ( em cm ) de um grupo de bebés prematuros (idade gestacional inferior a 36 semanas) nascidos durante um mês numa maternidade.
29,9 | 40,2 | 37,8 | 19,7 | 30,0 | 29,7 | 19,4 | 39,2 | 24,7 | 20,4 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
19,1 | 34,7 | 33,5 | 18,3 | 19,4 | 27,3 | 38,2 | 16,2 | 36,8 | 33,1 |
41,4 | 13,6 | 32,2 | 24,3 | 19,1 | 37,4 | 23,8 | 33,3 | 31,6 | 20,1 |
17,2 | 13,3 | 37,7 | 12,6 | 39,6 | 24,6 | 18,6 | 18,0 | 33,7 | 38,2 |
(a) Ordene os dados e calcule a média, mediana, desvio padrão, quartis e o quantil de ordem
. Encontre um valor tal que
dos bebés observados tenham comprimentos superiores a esse valor.
(b) Faça um agrupamento dos dados em classes, de forma conveniente, e represente-os graficamente através de um histograma.
© Calcule a média, a mediana e variância para os dados agrupados. Compare estes valores aproximados com os correspondentes valores exatos obtidos no primeiro item.
(b) Faça um agrupamento dos dados em classes, de forma conveniente, e represente-os graficamente através de um histograma.
© Calcule a média, a mediana e variância para os dados agrupados. Compare estes valores aproximados com os correspondentes valores exatos obtidos no primeiro item.
Considere o vetor aleatório
que representa o número de consultas anuais que um grupo de utentes requereu no serviço público
e no serviço privado
, caracterizado pela seguinte função de probabilidade conjunta.
|
|||
---|---|---|---|
|
2 | 3 | 4 |
1 |
|
|
0 |
2 |
|
0 |
|
3 |
|
|
0 |
(a) Obtenha as funções de probabilidade marginais e as funções de distribuição marginais do número de consultas no serviço público e no serviço privado.
(b) Determine a probabilidade de, ao escolher um utente ao acaso, este ter tido um produto do número de consultas par.
© Qual a probabilidade de um utente selecionado ao acaso ter tido no máximo 2 consultas no serviço público e no máximo 3 no serviço privado?
(d) Construa a função de probabilidade do número de consultas no serviço privado, apenas para os utentes que tiveram 2 consultas no público.
(e) Calcule a probabilidade de, ao escolher ao acaso, um utente de entre os que tiveram 3 ou mais consultas no serviço privado, este ter tido 3 consultas no serviço público.
(f) Determine a probabilidade de um utente, escolhido ao acaso, ter tido 3 consultas no serviço público.
(g) Qual a probabilidade de, ao escolher um utente ao acaso, este ter tido 2 consultas no serviço privado, sabendo que teve menos de 6 consultas, ou seja, ?
(h) Será que o número de consultas no serviço público é independente do número de consultas no serviço privado? Justifique.
(b) Determine a probabilidade de, ao escolher um utente ao acaso, este ter tido um produto do número de consultas par.
© Qual a probabilidade de um utente selecionado ao acaso ter tido no máximo 2 consultas no serviço público e no máximo 3 no serviço privado?
(d) Construa a função de probabilidade do número de consultas no serviço privado, apenas para os utentes que tiveram 2 consultas no público.
(e) Calcule a probabilidade de, ao escolher ao acaso, um utente de entre os que tiveram 3 ou mais consultas no serviço privado, este ter tido 3 consultas no serviço público.
(f) Determine a probabilidade de um utente, escolhido ao acaso, ter tido 3 consultas no serviço público.
(g) Qual a probabilidade de, ao escolher um utente ao acaso, este ter tido 2 consultas no serviço privado, sabendo que teve menos de 6 consultas, ou seja,
(h) Será que o número de consultas no serviço público é independente do número de consultas no serviço privado? Justifique.
Dada a distribuição de frequências de uma população com classes desiguais a seguir, faça o que se pede:
CLASSE |
|
|
|
---|---|---|---|
|
30 | 0,15 | |
|
|||
|
100 | ||
|
b) Obtenha a média da distribuição.
Calcule
.