Suponha que a necessidade diária de um dado medicamento num dado hospital pode ser descrita pela v.a. X com a seguinte função densidade de probabilidade:
f(x)=lc c x2, & 0á
(a) Determine o valor de c.
(b) Calcule a P(1.
© Encontre uma expressão para os quantil p. Calcule os quartis.
(d) Calcule E(X) e Var(X).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta a função densidade de probabilidade de uma variável aleatória contínua f(x)=lc c x2, & 0 que representa a necessidade diária de um medicamento em um hospital. A função é definida por:
á
Nosso objetivo é resolver as partes (a) a (d) utilizando conceitos de cálculo de probabilidades, funções densidade, quantis e estatísticas como esperança e variância.

Passo 2

Parte (a): Determinar o valor de integral-infty^+infty f(x) dx = 1 .
Para que integral0^3 c x2 dx = 1 seja uma função densidade de probabilidade válida, a integral de sobre todo o seu domínio deve ser igual a 1. Ou seja:
Como é diferente de zero apenas entre 0 e 3, a integral fica:

Passo 3

Vamos calcular a integral:
integral0^3 c x2 dx = c2 integral0^3 x dx = c2 [ x^22 ]0^3 = c2 ( 92 - 0 ) = 9c4
Para que a integral seja igual a 1:
9c4 = 1 c = 49

Passo 4

Resposta da parte (a):
O valor de é .

Passo 5

Parte (b): Calcular P(1 < X < 2) = integral1^2 f(x) dx = integral1^2 c x2 dx .
Queremos encontrar a probabilidade de P(1 < X < 2) = integral1^2 4 x18 dx = 29 integral1^2 x dx estar entre 1 e 2. Isso é dado pela integral da função densidade entre esses limites:
Já sabemos que , então substituímos:

Passo 6

Calculando a integral:
29 [ x^22 ]1^2 = 29 ( 42 - 12 ) = 29 ( 2 - 0,5 ) = 29 times 1,5 = 39 = 13

Passo 7

Resposta da parte (b):
.

Passo 8

Parte ©: Encontrar uma expressão para os quantis F(Qp) = p e calcular os quartis.
Os quantis são valores que dividem a distribuição em percentis específicos. O quantil é definido por:
onde é a função de distribuição acumulada (CDF) de .
Primeiro, vamos encontrar .

Passo 9

A função de distribuição acumulada F(x) = integral0^x c t2 dt = c2 integral0^x t dt = c2 [ t^22 ]0^x = c x^24 é a integral da função densidade F(x) = 49 x^24 = x^29 desde até . Como é zero para e , temos:
Substituindo :

Passo 10

Para encontrar o quantil F(Qp) = p Rightarrow Qp^29 = p Rightarrow Qp = raiz9p = 3raizp , resolvemos:
Q1 = 3raiz0,25 = 3 times 0,5 = 1,5
Agora, calculamos os quartis, que são os quantis para Q2 = 3raiz0,5 approx 3 times 0,7071 approx 2,121 , Q3 = 3raiz0,75 approx 3 times 0,8660 approx 2,598 e :
  • Primeiro quartil ( ):
  • Segundo quartil ( ) - mediana:
  • Terceiro quartil ( ):

Passo 11

Resposta da parte ©:
A expressão para o quantil é . Os quartis são aproximadamente:
  • Primeiro quartil ( ): 1,5
  • Segundo quartil ( ): 2,121
  • Terceiro quartil ( ): 2,598

Passo 12

Parte (d): Calcular E(X) = integral0^3 x f(x) dx = integral0^3 x cdot c x2 dx = c2 integral0^3 x^2 dx e E(X) = 492 integral0^3 x^2 dx = 29 [ x^33 ]0^3 = 29 ( 273 - 0 ) = 29 times 9 = 2 .
Primeiro, vamos calcular a esperança :
Substituindo :

Passo 13

Agora, vamos calcular E(X^2) = integral0^3 x^2 f(x) dx = integral0^3 x^2 cdot c x2 dx = c2 integral0^3 x^3 dx :
E(X^2) = 492 integral0^3 x^3 dx = 29 [ x^44 ]0^3 = 29 ( 814 - 0 ) = 29 times 814 = 16236 = 4,5
Substituindo Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = 4,5 - (2)^2 = 4,5 - 4 = 0,5 :
Então, a variância é:

Resposta

(a)
(b)
© Quantil : ;
  • Primeiro quartil: 1,5
  • Segundo quartil: ≈2,121
  • Terceiro quartil: ≈2,598
(d) e

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