Considere os vetores a=1,0 i+2,0 j+3,0 k, b=3,0 i+1,0 j+2,0 k e c=2,0 i+4,0 j-5,0 k. Pede-se
o ângulo theta que está entre os vetores a e b.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrarmos o ângulo theta entre os vetores a e b. Para resolver isso, vamos usar o conceito de produto escalar (também conhecido como produto interno) e a fórmula que relaciona o produto escalar com o cosseno do ângulo entre dois vetores. Precisamos saber como calcular o produto escalar e a magnitude (ou comprimento) dos vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula do produto escalar entre dois vetores u e v:
u cdot v = ux vx + uy vy + uz vz
Isso significa que multiplicamos componente por componente e somamos os resultados.

Passo 3

Agora, vamos calcular o produto escalar entre a e b:
a cdot b = (1,0)(3,0) + (2,0)(1,0) + (3,0)(2,0) = 1 times 3 + 2 times 1 + 3 times 2 = 3 + 2 + 6 = 11

Passo 4

Em seguida, precisamos calcular a magnitude de cada vetor. A fórmula para a magnitude de um vetor u = ux i + uy j + uz k é:
|u| = raizux^2 + uy^2 + uz^2

Passo 5

Vamos calcular a magnitude de a:
|a| = raiz1^2 + 2^2 + 3^2 = raiz1 + 4 + 9 = raiz14 approx 3,7417

Passo 6

Agora, a magnitude de b:
|b| = raiz3^2 + 1^2 + 2^2 = raiz9 + 1 + 4 = raiz14 approx 3,7417

Passo 7

Com o produto escalar e as magnitudes, podemos usar a fórmula que relaciona tudo isso para encontrar o ângulo theta:
a cdot b = |a| times |b| times cos(theta)
Rearranjando para encontrar cos(theta):
cos(theta) = a cdot b|a| times |b|

Passo 8

Substituindo os valores que calculamos:
cos(theta) = 113,7417 times 3,7417 = 1114 approx 0,7857

Passo 9

Agora, para encontrar o ângulo theta, tiramos o arco cosseno de 0,7857:
theta = arccos(0,7857) approx 38^circ

Resposta

O ângulo theta entre os vetores a e b é aproximadamente 38^circ.

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