Considere os vetores u=2 i-j, v=j+2 k, e w=i+2 k M
(b) Escreva o vetor a=2 i-j+3 k como combinação linear dos vetores u, v e w.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que escrever o vetor a = 2 i - j + 3 k como uma combinação linear dos vetores u = 2 i - j, v = j + 2 k e w = i + 2 k. Isso significa que queremos encontrar coeficientes a = x u + y v + z w , a e tais que:
Para resolver isso, precisamos entender como combinar esses vetores para chegar no vetor .

Passo 2

Vamos começar escrevendo a combinação linear dos vetores:
x u + y v + z w = x (2 i - j) + y (j + 2 k) + z (i + 2 k)
Agora, vamos distribuir os coeficientes:
= (2x i - x j) + (y j + 2y k) + (z i + 2z k)
Agrupando os termos iguais:
= (2x + z) i + (-x + y) j + (2y + 2z) k
Queremos que isso seja igual a a = 2 i - j + 3 k, então vamos igualar os coeficientes das componentes correspondentes.

Passo 3

Agora, vamos igualar cada componente:
Para a componente 2x + z = 2 :
-x + y = -1
Para a componente 2y + 2z = 3 :
Para a componente :
Agora, temos um sistema de três equações com três incógnitas:

Passo 4

Vamos resolver o sistema passo a passo.
Primeiro, da segunda equação:
-x + y = -1 implies y = x - 1
Agora, substituímos 2(x - 1) + 2z = 3 implies 2x - 2 + 2z = 3 implies 2x + 2z = 5 implies x + z = 52 na terceira equação:
2x + z - (x + z) = 2 - 52 implies x = -12
Agora, temos as duas equações seguintes:
  1. -12 + z = 52 implies z = 52 + 12 = 3
  2. y = -12 - 1 = -32
Subtraindo a segunda da primeira:
Agora que temos , substituímos na equação :
E finalmente, usando :

Resposta

Portanto, o vetor a pode ser escrito como combinação linear dos vetores u, v e w da seguinte forma:
a = -12 u - 32 v + 3 w

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