Dada as funções
f(x)=ll x^2+2, & se x <=-1 1x-2, & se -1= 1 g(x)=2-3 x
Determine f circ g e g circ f.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de funções compostas! A gente tem duas funções e definidas de maneiras diferentes, e o que precisamos fazer é encontrar (ou seja, ) e (ou seja, ). Para isso, vamos precisar entender como compor funções e analisar em quais intervalos cada parte da função está atuando.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a composição de funções. Quando a gente calcula , significa que a gente pega o valor de e coloca esse resultado na função . O mesmo vale para , onde pegamos e colocamos na .

Passo 3

Vamos começar encontrando g(x) = 2 - 3x . A função f(g(x)) = f(2 - 3x) é dada por:
Então, substituindo em :
Agora, precisamos ver em qual intervalo se encaixa para saber qual parte da função usar.

Passo 4

A função f(x) = x^2 + 2, & se x <= -1 1x - 2, & se -1 < x < 1 4 - x^2, & se x >= 1 é definida por partes:
Precisamos analisar em qual intervalo cai para cada .

Passo 5

Vamos resolver as desigualdades para determinar os intervalos:
  1. 2 - 3x <= -1 -3x <= -3 x >= 1 :
-1 < 2 - 3x < 1 -3 < -3x < -1 1 < x < 3
  1. 2 - 3x >= 1 -3x >= -1 x <= 13 :
  1. :

Passo 6

Agora, podemos expressar f(g(x)) = (2 - 3x)^2 + 2, & se x >= 1 12 - 3x - 2 = 1-3x, & se 13 < x < 1 4 - (2 - 3x)^2, & se x <= 13 em termos de f(g(x)) = 9x^2 - 12x + 6, & se x >= 1 -13x, & se 13 < x < 1 4 - (4 - 12x + 9x^2) = -9x^2 + 12x, & se x <= 13 com base nos intervalos encontrados:
Simplificando:

Passo 7

Agora, vamos encontrar g(f(x)) = 2 - 3f(x) . Primeiro, queremos substituir f(x) = x^2 + 2 na função g(f(x)) = 2 - 3(x^2 + 2) = 2 - 3x^2 - 6 = -3x^2 - 4 :
f(x) = 1x - 2
Vamos considerar os três casos de g(f(x)) = 2 - 3(1x - 2) = 2 - 3x - 2 :
  1. Se f(x) = 4 - x^2 :
g(f(x)) = 2 - 3(4 - x^2) = 2 - 12 + 3x^2 = 3x^2 - 10
Então,
  1. Se :
Então,
  1. Se :
Então,

Resposta

As composições das funções são:
f circ g(x) = 9x^2 - 12x + 6, & se x >= 1 -13x, & se 13 < x < 1 -9x^2 + 12x, & se x <= 13
e
g circ f(x) = -3x^2 - 4, & se x <= -1 2 - 3x - 2, & se -1 < x < 1 3x^2 - 10, & se x >= 1

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