Beleza, vamos resolver esse exercício de funções compostas! A gente tem duas funções e definidas de maneiras diferentes, e o que precisamos fazer é encontrar (ou seja, ) e (ou seja, ). Para isso, vamos precisar entender como compor funções e analisar em quais intervalos cada parte da função está atuando.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a composição de funções. Quando a gente calcula , significa que a gente pega o valor de e coloca esse resultado na função . O mesmo vale para , onde pegamos e colocamos na .
Passo 3
Vamos começar encontrando g(x) = 2 - 3x . A função f(g(x)) = f(2 - 3x) é dada por:
Então, substituindo em :
Agora, precisamos ver em qual intervalo se encaixa para saber qual parte da função usar.
Passo 4
A função f(x) = x^2 + 2, & se x <= -1 1x - 2, & se -1 < x < 1 4 - x^2, & se x >= 1 é definida por partes:
Precisamos analisar em qual intervalo cai para cada .
Passo 5
Vamos resolver as desigualdades para determinar os intervalos:
2 - 3x <= -1 -3x <= -3 x >= 1 :
-1 < 2 - 3x < 1 -3 < -3x < -1 1 < x < 3
2 - 3x >= 1 -3x >= -1 x <= 13 :
:
Passo 6
Agora, podemos expressar f(g(x)) = (2 - 3x)^2 + 2, & se x >= 1 12 - 3x - 2 = 1-3x, & se 13 < x < 1 4 - (2 - 3x)^2, & se x <= 13 em termos de f(g(x)) = 9x^2 - 12x + 6, & se x >= 1 -13x, & se 13 < x < 1 4 - (4 - 12x + 9x^2) = -9x^2 + 12x, & se x <= 13 com base nos intervalos encontrados: