Beleza, vamos lá! A gente tem uma matriz de 3x3 e precisa encontrar a adjunta dela, chamada de . Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, especificamente sobre matrizes e suas propriedades. Para resolver isso, vamos precisar calcular os cofatores de cada elemento de e depois fazer a transposta dessa matriz de cofatores.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um cofator. O cofator de um elemento de uma matriz é calculado multiplicando-se o determinante do menor associado a esse elemento por , onde e são as posições da linha e coluna do elemento. O menor é a matriz que sobra quando removemos a linha e a coluna desse elemento.
Passo 3
Vamos calcular o cofator de cada elemento de A = 2 & 1 & -3 0 & 2 & 1 5 & 1 & 3 . A matriz 2 & 1 1 & 3 é:
0 & 1 5 & 3
Começamos pela primeira linha.
Cofator de 0 & 2 5 & 1 (posição 1,1):
Removendo a primeira linha e a primeira coluna, o menor é:
O determinante desse menor é .
Aplicando o sinal: .
Então, o cofator é .
Cofator de (posição 1,2):
Removendo a primeira linha e a segunda coluna, o menor é:
Determinante: .
Sinal: .
Cofator: .
Cofator de (posição 1,3):
Removendo a primeira linha e terceira coluna, o menor é:
Determinante: .
Sinal: .
Cofator: .
Passo 4
Agora, vamos para a segunda linha.
Cofator de 1 & -3 1 & 3 (posição 2,1):
Removendo a segunda linha e primeira coluna, o menor é:
2 & -3 5 & 3
Determinante: 2 & 1 5 & 1 .
Sinal: .
Cofator: .
Cofator de (posição 2,2):
Removendo a segunda linha e segunda coluna, o menor é:
Determinante: .
Sinal: .
Cofator: .
Cofator de (posição 2,3):
Removendo a segunda linha e terceira coluna, o menor é:
Determinante: .
Sinal: .
Cofator: .
Passo 5
Agora, vamos para a terceira linha.
Cofator de 1 & -3 2 & 1 (posição 3,1):
Removendo a terceira linha e primeira coluna, o menor é:
2 & -3 0 & 1
Determinante: 2 & 1 0 & 2 .
Sinal: .
Cofator: .
Cofator de (posição 3,2):
Removendo a terceira linha e segunda coluna, o menor é:
Determinante: .
Sinal: .
Cofator: .
Cofator de (posição 3,3):
Removendo a terceira linha e terceira coluna, o menor é:
Determinante: .
Sinal: .
Cofator: .
Passo 6
Agora que temos todos os cofatores, vamos montar a matriz de cofatores:
5 & 5 & 10 -6 & 21 & 3 7 & -2 & 4
A adjunta de é a transposta dessa matriz de cofatores. Ou seja, trocamos linhas por colunas.