c) Resolva o sistema e verifique que toda matriz solução é da forma
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações. Temos duas equações com três variáveis (, e ). A matéria que precisamos usar aqui é a de sistemas lineares, mais especificamente, métodos para resolver sistemas com mais variáveis do que equações. Vamos precisar usar a eliminação para simplificar o sistema.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever as equações para facilitar:
Vamos eliminar uma variável para simplificar. Observando as equações, podemos eliminar 2x + 12y - 16z = 2 (Equação 3) . Para isso, multiplicamos a Equação 1 por 2 e subtraímos a Equação 2 dela:
Multiplicando a Equação 1 por 2:
(2x + 12y - 16z) - (2x + 6y - 4z) = 2 - 0 çã
Subtraindo a Equação 2 da Equação 3:
6y - 12z = 2
Simplificando:
Passo 4
Agora, vamos simplificar essa equação dividindo todos os termos por 6:
y - 2z = 13
Isso nos dá uma relação entre y = 2z + 13 e . Podemos expressar em função de :
Passo 5
Agora que temos x + 6(2z + 13) - 8z = 1 em função de x + 12z + 2 - 8z = 1 , vamos substituir isso na Equação 1 para encontrar x + 4z + 2 = 1 :
x = -4z -1
Distribuindo o 6:
Simplificando:
Isolando :
Passo 6
Agora, temos x = -4lambda -1 y = 2lambda + 13 z = lambda e em função de . Vamos representar as soluções em termos de um parâmetro livre, que vamos chamar de . Assim:
Passo 7
Podemos escrever a solução como uma combinação linear:
X = lambda -4 2 1 + -1 13 0
Isso mostra que toda solução do sistema é formada por um múltiplo de -4 2 1 mais o vetor -1 13 0 .