Considere os vetores e no .
(a) Verifique se os vetores e são combinação linear de e (Sugestão: os dois podem ser verificados simultaneamente)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta quatro vetores no espaço tridimensional : , , e . A tarefa é verificar se os vetores e podem ser escritos como combinações lineares desses quatro vetores , , e . Ou seja, queremos saber se existem escalares , , e tais que:
Isso envolve conceitos de álgebra linear, especialmente o de combinação linear e resolução de sistemas lineares. Vamos precisar montar e resolver sistemas de equações para encontrar esses coeficientes.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma combinação linear. Quando dizemos que um vetor é uma combinação linear dos vetores , , e , estamos dizendo que podemos encontrar números (escalares) , , e tais que:
Expandindo isso para cada componente, temos que:
Vamos aplicar isso para os vetores e .
Passo 3
Vamos montar os sistemas de equações para e .
Para :
Para :
Observamos que a terceira equação é a mesma para ambos os vetores, então podem ser resolvidos simultaneamente.
Passo 4
Vamos resolver o sistema para primeiro.
Sistema para :
Podemos resolver esse sistema utilizando o método da substituição ou eliminação. Vamos usar a eliminação.
Primeiro, da equação (3):
Substituímos na equação (1):
E na equação (2):
Agora, temos dois novos sistemas:
Notamos que a equação (6) é duas vezes a equação (5), o que indica que as duas equações são dependentes e o sistema tem infinitas soluções baseadas nos parâmetros escolhidos. Para simplificar, podemos escolher um valor para uma das variáveis e resolver as outras em função dela.
Vamos assumir que , onde é um parâmetro qualquer.
Substituindo na equação (5):
E utilizando a equação (4) para :
Portanto, as soluções são:
Isso significa que existem infinitas combinações de , , e que satisfazem o sistema para .
Vamos agora verificar para .
Sistema para :
Seguindo os mesmos passos:
Da equação (3):
Substituindo na equação (1):
E na equação (2):
Novamente, percebemos que a equação (6) não é múltiplo da equação (5), então temos um sistema independente.
Resolvendo a equação (5):
Substituindo na equação (6):
í
Isso significa que não há solução para esse sistema, ou seja, não existem valores de , , e que satisfaçam todas as equações para .
Resposta
O vetor é uma combinação linear dos vetores , , e . No entanto, o vetor não é uma combinação linear desses vetores.