Considere os vetores e no .
(a) Verifique se os vetores e são combinação linear de e (Sugestão: os dois podem ser verificados simultaneamente)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta quatro vetores no espaço tridimensional : , , e . A tarefa é verificar se os vetores e podem ser escritos como combinações lineares desses quatro vetores , , e . Ou seja, queremos saber se existem escalares , , e tais que:
Isso envolve conceitos de álgebra linear, especialmente o de combinação linear e resolução de sistemas lineares. Vamos precisar montar e resolver sistemas de equações para encontrar esses coeficientes.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma combinação linear. Quando dizemos que um vetor é uma combinação linear dos vetores , , e , estamos dizendo que podemos encontrar números (escalares) , , e tais que:
Expandindo isso para cada componente, temos que:
Vamos aplicar isso para os vetores W1 e W2.
Passo 3
Vamos montar os sistemas de equações para W1 e W2.
Notamos que a equação (6) é duas vezes a equação (5), o que indica que as duas equações são dependentes e o sistema tem infinitas soluções baseadas nos parâmetros escolhidos. Para simplificar, podemos escolher um valor para uma das variáveis e resolver as outras em função dela.
Vamos assumir que c = t, onde t é um parâmetro qualquer.
Substituindo c = t na equação (5):
a + 2b - 3t = -3 Rightarrow a = -3 - 2b + 3t (7)
E utilizando a equação (4) para d:
d = 4 + 4b - t (8)
Portanto, as soluções são:
a = -3 - 2b + 3t b = b (livre) c = t d = 4 + 4b - t
Isso significa que existem infinitas combinações de a, b, c e d que satisfazem o sistema para W1.
Vamos agora verificar para W2.
Sistema para W2=(2,-1,4):
2 = a - 2b - 2c + d (1) -1 = 2a - 5c + d (2) 4 = -4b + c + d (3)
Seguindo os mesmos passos:
Da equação (3):
d = 4 + 4b - c (4)
Substituindo d na equação (1):
2 = a - 2b - 2c + (4 + 4b - c) 2 = a + 2b - 3c + 4 a + 2b - 3c = -2 (5)