Considere os vetores V1=(1,2,0), V2=(-2,0,-4), V3=(-2,-5,1) e V4=(1,1,1) no R^3.
(a) Verifique se os vetores W1=(1,-2,4) e W2=(2,-1,4) são combinação linear de V1, V2, V3 e V4 (Sugestão: os dois podem ser verificados simultaneamente)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta quatro vetores no espaço tridimensional R^3: V1=(1,2,0), V2=(-2,0,-4), V3=(-2,-5,1) e V4=(1,1,1). A tarefa é verificar se os vetores W1=(1,-2,4) e W2=(2,-1,4) podem ser escritos como combinações lineares desses quatro vetores V1, V2, V3 e V4. Ou seja, queremos saber se existem escalares a, b, c e d tais que:
W = aV1 + bV2 + cV3 + dV4
Isso envolve conceitos de álgebra linear, especialmente o de combinação linear e resolução de sistemas lineares. Vamos precisar montar e resolver sistemas de equações para encontrar esses coeficientes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma combinação linear. Quando dizemos que um vetor W é uma combinação linear dos vetores V1, V2, V3 e V4, estamos dizendo que podemos encontrar números (escalares) a, b, c e d tais que:
W = aV1 + bV2 + cV3 + dV4
Expandindo isso para cada componente, temos que:
w1 = a(1) + b(-2) + c(-2) + d(1) w2 = a(2) + b(0) + c(-5) + d(1) w3 = a(0) + b(-4) + c(1) + d(1)
Vamos aplicar isso para os vetores W1 e W2.

Passo 3

Vamos montar os sistemas de equações para W1 e W2.
Para W1=(1,-2,4):
1 = a(1) + b(-2) + c(-2) + d(1) -2 = a(2) + b(0) + c(-5) + d(1) 4 = a(0) + b(-4) + c(1) + d(1)
Para W2=(2,-1,4):
2 = a(1) + b(-2) + c(-2) + d(1) -1 = a(2) + b(0) + c(-5) + d(1) 4 = a(0) + b(-4) + c(1) + d(1)
Observamos que a terceira equação é a mesma para ambos os vetores, então podem ser resolvidos simultaneamente.

Passo 4

Vamos resolver o sistema para W1 primeiro.
Sistema para W1:
1 = a - 2b - 2c + d (1) -2 = 2a - 5c + d (2) 4 = -4b + c + d (3)
Podemos resolver esse sistema utilizando o método da substituição ou eliminação. Vamos usar a eliminação.
Primeiro, da equação (3):
4 = -4b + c + d Rightarrow d = 4 + 4b - c (4)
Substituímos d na equação (1):
1 = a - 2b - 2c + (4 + 4b - c) 1 = a + 2b - 3c + 4 a + 2b - 3c = -3 (5)
E na equação (2):
-2 = 2a - 5c + (4 + 4b - c) -2 = 2a + 4b - 6c + 4 2a + 4b - 6c = -6 (6)
Agora, temos dois novos sistemas:
a + 2b - 3c = -3 (5) 2a + 4b - 6c = -6 (6)
Notamos que a equação (6) é duas vezes a equação (5), o que indica que as duas equações são dependentes e o sistema tem infinitas soluções baseadas nos parâmetros escolhidos. Para simplificar, podemos escolher um valor para uma das variáveis e resolver as outras em função dela.
Vamos assumir que c = t, onde t é um parâmetro qualquer.
Substituindo c = t na equação (5):
a + 2b - 3t = -3 Rightarrow a = -3 - 2b + 3t (7)
E utilizando a equação (4) para d:
d = 4 + 4b - t (8)
Portanto, as soluções são:
a = -3 - 2b + 3t b = b (livre) c = t d = 4 + 4b - t
Isso significa que existem infinitas combinações de a, b, c e d que satisfazem o sistema para W1.
Vamos agora verificar para W2.
Sistema para W2=(2,-1,4):
2 = a - 2b - 2c + d (1) -1 = 2a - 5c + d (2) 4 = -4b + c + d (3)
Seguindo os mesmos passos:
Da equação (3):
d = 4 + 4b - c (4)
Substituindo d na equação (1):
2 = a - 2b - 2c + (4 + 4b - c) 2 = a + 2b - 3c + 4 a + 2b - 3c = -2 (5)
E na equação (2):
-1 = 2a - 5c + (4 + 4b - c) -1 = 2a + 4b - 6c + 4 2a + 4b - 6c = -5 (6)
Novamente, percebemos que a equação (6) não é múltiplo da equação (5), então temos um sistema independente.
Resolvendo a equação (5):
a = -2 - 2b + 3c (7)
Substituindo na equação (6):
2(-2 - 2b + 3c) + 4b - 6c = -5 -4 - 4b + 6c + 4b - 6c = -5 -4 = -5 (resuí
Isso significa que não há solução para esse sistema, ou seja, não existem valores de a, b, c e d que satisfaçam todas as equações para W2.

Resposta

O vetor W1=(1,-2,4) é uma combinação linear dos vetores V1, V2, V3 e V4. No entanto, o vetor W2=(2,-1,4) não é uma combinação linear desses vetores.

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