Determine as equações paramétricas e as equações simétricas para a reta. A reta de intersecção dos planos e
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar as equações paramétricas e simétricas de uma reta que é a intersecção de dois planos: e . Estamos trabalhando com Geometria Analítica, especificamente com retas e planos no espaço tridimensional. Para isso, vamos precisar encontrar uma direção para a reta e um ponto que pertença a ela.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar um ponto que está na reta de intersecção dos dois planos. Para isso, podemos resolver o sistema de equações formado pelos dois planos:
Podemos resolver esse sistema usando o método da substituição ou da combinação. Vou usar a combinação para eliminar uma variável.
Subtraindo a segunda equação da primeira:
Agora, temos uma relação entre e : . Podemos expressar em termos de :
Vamos escolher um valor para para facilitar a resolução. Vamos considerar :
Agora, substituímos e em uma das equações originais para encontrar . Usando a segunda equação:
Portanto, temos o ponto que está na reta de intersecção dos dois planos.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar um vetor diretor para a reta. O vetor diretor pode ser encontrado tomando o produto vetorial dos vetores normais dos dois planos. Os vetores normais são os coeficientes de , e nas equações dos planos:
Calculando o produto vetorial :
Então, o vetor diretor da reta é .
Passo 4
Com o ponto e o vetor diretor , podemos escrever as equações paramétricas da reta. As equações paramétricas são dadas por:
Onde é o ponto conhecido e são as componentes do vetor diretor, e é o parâmetro.
Substituindo os valores:
Passo 5
Agora, vamos escrever as equações simétricas da reta. As equações simétricas são obtidas a partir das equações paramétricas, resolvendo cada uma delas para e igualando: