Determine as equações paramétricas e as equações simétricas para a reta. A reta de intersecção dos planos x+2 y+3 z=1 e x-y+z=1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar as equações paramétricas e simétricas de uma reta que é a intersecção de dois planos: e . Estamos trabalhando com Geometria Analítica, especificamente com retas e planos no espaço tridimensional. Para isso, vamos precisar encontrar uma direção para a reta e um ponto que pertença a ela.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar um ponto que está na reta de intersecção dos dois planos. Para isso, podemos resolver o sistema de equações formado pelos dois planos:
x + 2y + 3z = 1 x - y + z = 1
Podemos resolver esse sistema usando o método da substituição ou da combinação. Vou usar a combinação para eliminar uma variável.
Subtraindo a segunda equação da primeira:
(x + 2y + 3z) - (x - y + z) = 1 - 1 3y + 2z = 0
Agora, temos uma relação entre y = -23z e y = -23 times 3 = -2 : x - (-2) + 3 = 1 x + 2 + 3 = 1 x + 5 = 1 x = -4 . Podemos expressar em termos de :
Vamos escolher um valor para para facilitar a resolução. Vamos considerar :
Agora, substituímos e em uma das equações originais para encontrar . Usando a segunda equação:
Portanto, temos o ponto que está na reta de intersecção dos dois planos.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar um vetor diretor para a reta. O vetor diretor pode ser encontrado tomando o produto vetorial dos vetores normais dos dois planos. Os vetores normais são os coeficientes de n1 = (1, 2, 3) n2 = (1, -1, 1) , d = n1 times n2 = i & j & k 1 & 2 & 3 1 & -1 & 1 = i(2 times 1 - 3 times (-1)) - j(1 times 1 - 3 times 1) + k(1 times (-1) - 2 times 1) = i(2 + 3) - j(1 - 3) + k(-1 - 2) = 5i + 2j - 3k = (5, 2, -3) e nas equações dos planos:
Calculando o produto vetorial :
Então, o vetor diretor da reta é .

Passo 4

Com o ponto x = x0 + a t y = y0 + b t z = z0 + c t e o vetor diretor x = -4 + 5t y = -2 + 2t z = 3 - 3t , podemos escrever as equações paramétricas da reta. As equações paramétricas são dadas por:
Onde é o ponto conhecido e são as componentes do vetor diretor, e é o parâmetro.
Substituindo os valores:

Passo 5

Agora, vamos escrever as equações simétricas da reta. As equações simétricas são obtidas a partir das equações paramétricas, resolvendo cada uma delas para x - x0a = y - y0b = z - z0c e igualando:
x + 45 = y + 22 = z - 3-3
Usando os valores encontrados:

Resposta

As equações paramétricas da reta são:
x = -4 + 5t y = -2 + 2t z = 3 - 3t
E as equações simétricas da reta são:
x + 45 = y + 22 = z - 3-3

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