Responda VERDADEIRO ou FALSO, com uma breve justificativa ou contra-exemplo: i-( ) Se é um subconjunto LD, então é LD ou é LD; ii-( ) Se uma transformação linear é diagonalizável, então possui 2 autovalores reais distintos;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente vai precisar usar conceitos de álgebra linear, como dependência linear e transformação linear. Para isso, vamos entender o que cada afirmação está pedindo e aplicar a teoria passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a afirmação i: “Se é um subconjunto LD (linearmente dependente), então é LD ou é LD.”
Dependência Linear (LD): Um conjunto de vetores é linearmente dependente se pelo menos um dos vetores pode ser escrito como uma combinação linear dos outros.
No caso, temos 4 vetores em . A afirmação sugere que se esses 4 vetores são dependentes, então ou os dois primeiros ou os últimos três também devem ser dependentes. Mas isso nem sempre acontece.
Exemplo Contrário: Imagine que os vetores e são linearmente independentes, assim como , e são também independentes entre si. No entanto, todo o conjunto pode ser dependente se, por exemplo, .
Portanto, a afirmação i nem sempre é verdadeira.

Passo 3

Agora, vamos para a afirmação ii: “Se uma transformação linear é diagonalizável, então possui 2 autovalores reais distintos.”
Transformação Diagonalizável: Uma transformação é diagonalizável se existe uma base de autovetores para o espaço, ou seja, se a matriz associada pode ser colocada em forma diagonal.
Muitas vezes, pensamos que para ser diagonalizável, uma transformação precisa ter autovalores distintos. Mas não é só isso!
Exemplo Contrário: A matriz identidade em é diagonalizável e possui apenas um autovalor, que é 1, porém com multiplicidade 2. Isso mostra que uma transformação pode ser diagonalizável mesmo com autovalores repetidos.
Assim, a afirmação ii está errada.

Resposta

i- FALSO; ii- FALSO.

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