Responda VERDADEIRO ou FALSO, com uma breve justificativa ou contra-exemplo: i-( ) Se
é um subconjunto LD, então
é LD ou
é LD; ii-( ) Se uma transformação linear
é diagonalizável, então possui 2 autovalores reais distintos;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente vai precisar usar conceitos de álgebra linear, como dependência linear e transformação linear. Para isso, vamos entender o que cada afirmação está pedindo e aplicar a teoria passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a afirmação i: “Se
é um subconjunto LD (linearmente dependente), então
é LD ou
é LD.”
Dependência Linear (LD): Um conjunto de vetores é linearmente dependente se pelo menos um dos vetores pode ser escrito como uma combinação linear dos outros.
No caso, temos 4 vetores em
. A afirmação sugere que se esses 4 vetores são dependentes, então ou os dois primeiros ou os últimos três também devem ser dependentes. Mas isso nem sempre acontece.
Exemplo Contrário: Imagine que os vetores
e
são linearmente independentes, assim como
,
e
são também independentes entre si. No entanto, todo o conjunto
pode ser dependente se, por exemplo,
.
Portanto, a afirmação i nem sempre é verdadeira.
Passo 3
Agora, vamos para a afirmação ii: “Se uma transformação linear
é diagonalizável, então possui 2 autovalores reais distintos.”
Transformação Diagonalizável: Uma transformação é diagonalizável se existe uma base de autovetores para o espaço, ou seja, se a matriz associada pode ser colocada em forma diagonal.
Muitas vezes, pensamos que para ser diagonalizável, uma transformação precisa ter autovalores distintos. Mas não é só isso!
Exemplo Contrário: A matriz identidade
em
é diagonalizável e possui apenas um autovalor, que é 1, porém com multiplicidade 2. Isso mostra que uma transformação pode ser diagonalizável mesmo com autovalores repetidos.
Assim, a afirmação ii está errada.
Resposta
i- FALSO; ii- FALSO.
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Seja
dada por
(a) Encontre
a matriz de
em relação as bases canônicas.
Encontre uma base e a dimensão do subespaço de
Considere a transformação
dada por
a) Sem obter o polinômio característico da transformação encontre os autovalores aos quais estão associados os autovetores
e
;
Considere os vetores
e
no
.
(a) Verifique se os vetores e
são combinação linear de
e
(Sugestão: os dois podem ser verificados simultaneamente)
(a) Verifique se os vetores