Considere mais uma vez o modelo clássico do átomo de Hidrogênio discutido anteriormente. Neste modelo, o elétron (carga - e massa me ) descreve um movimento circular uniforme de raio a0 e velocidade escalar v em torno do próton. Determine o momento de dipolo magnético (módulo, direção e sentido) associado ao movimento do elétron em torno do próton.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre o modelo clássico do átomo de Hidrogênio, onde temos um elétron se movendo em círculo ao redor de um próton. Nosso objetivo é encontrar o momento de dipolo magnético desse movimento. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de corrente elétrica e momento magnético, além de usar algumas fórmulas básicas de física.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o momento de dipolo magnético ( mu = I cdot A ) está relacionado à corrente elétrica e à área da trajetória. A fórmula é:
onde é a corrente e é o vetor área do círculo.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a corrente elétrica gerada pelo elétron em movimento. A corrente ( I = eT ) pode ser calculada pela carga que passa por um ponto por unidade de tempo. Como o elétron tem carga e está fazendo uma volta completa em um período , a corrente é:

Passo 4

Para achar o período T = 2pi a0v , vamos usar a relação entre velocidade ( ) e a circunferência do caminho:
onde é o raio da órbita.

Passo 5

Substituindo I = e2pi a0v = e v2pi a0 na expressão da corrente:

Passo 6

Agora, calculamos a área A = pi a0^2 da órbita circular:

Passo 7

Com a corrente mu = I cdot A = e v2pi a0 cdot pi a0^2 = e v a02 e a área , podemos encontrar o momento de dipolo magnético:

Passo 8

Para a direção e sentido do momento de dipolo magnético, usamos a regra da mão direita. O elétron, tendo carga negativa, faz com que o momento magnético seja oposto ao sentido do movimento. Portanto, o momento de dipolo magnético aponta perpendicularmente ao plano da órbita, na direção oposta ao sentido de circulação do elétron.

Resposta

O momento de dipolo magnético associado ao movimento do elétron é:
mu = e v a02
direcionado perpendicularmente ao plano da órbita e oposto ao sentido de circulação do elétron.

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