Considere a variável aleatória número de caras menos o número de coroas em 2 lançamentos de uma moeda honesta. Encontre a função de probabilidade de .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de probabilidade envolvendo uma variável aleatória chamada , que representa a diferença entre o número de caras e coroas em 2 lançamentos de uma moeda justa. Nosso objetivo é encontrar a função de probabilidade dessa variável . Para isso, vamos precisar entender como calcular probabilidades em situações com eventos igualmente prováveis, além de saber como representar essas probabilidades usando fórmulas matemáticas em LaTeX.

Passo 2

Primeiro, vamos listar todas as possíveis saídas quando lançamos uma moeda duas vezes. Cada lançamento pode dar cara © ou coroa (K), então as combinações possíveis são:
  1. CC
  2. CK
  3. KC
  4. KK

Passo 3

Agora, vamos calcular o valor de para cada uma dessas combinações. Lembrando que é o número de caras menos o número de coroas.
  1. CC: 2 caras e 0 coroas, então
  2. CK: 1 cara e 1 coroa, então
  3. KC: 1 cara e 1 coroa, então
  4. KK: 0 caras e 2 coroas, então

Passo 4

Agora que sabemos os valores de para cada combinação, vamos identificar as probabilidades de cada valor de . Como a moeda é justa, cada uma das 4 combinações tem a mesma probabilidade de ocorrer, que é .
  • : ocorre em 1 caso (CC), então
  • : ocorre em 2 casos (CK, KC), então
  • : ocorre em 1 caso (KK), então

Passo 5

Por fim, vamos escrever a função de probabilidade de . Ela indica a probabilidade de cada valor possível de .

Resposta

A função de probabilidade de é dada por:
á

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.
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(a) com reposição;
(b) sem reposição.