Uma urna contém 5 bolas de gude brancas e 3 bolas de gude pretas. (2) Se
bolas de gude são extraídas ao acaso, e
é o número de bolas de gude pretas, encontre a função de probabilidade de
.
(a) com reposição;
(b) sem reposição.
(a) com reposição;
(b) sem reposição.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma urna que tem 5 bolas de gude brancas e 3 pretas. A gente vai tirar
bolas de forma aleatória e
representa o número de bolas pretas que a gente tira. Nosso objetivo é encontrar a função de probabilidade de
em duas situações:
(a) Com reposição (ou seja, depois de tirar uma bola, a gente coloca de volta na urna antes de tirar a próxima).
(b) Sem reposição (a gente não coloca a bola de volta depois de tirar).
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre distribuições de probabilidade, especificamente a distribuição binomial para o caso com reposição e a distribuição hipergeométrica para o caso sem reposição.
Passo 2
Vamos começar com a parte (a), onde a extração das bolas é feita com reposição.
Quando a gente tem reposição, cada extração é independente das anteriores. Isso significa que a probabilidade de tirar uma bola preta ou branca não muda a cada tirada. Esse cenário é perfeito para usar a distribuição binomial.
Na distribuição binomial, a probabilidade de obter exatamente
sucessos (no caso, bolas pretas) em
tentativas é dada por:
Onde:
-
é o número de combinações de itens tomados de cada vez. -
é a probabilidade de sucesso em uma única tentativa. -
é a probabilidade de falha.
No nosso caso:
- Total de bolas:
. - Probabilidade de tirar uma bola preta (
): . - Probabilidade de tirar uma bola branca (
): .
Então, a função de probabilidade de
é:
Passo 3
Agora, vamos para a parte (b), onde a extração é sem reposição.
Aqui, a probabilidade de tirar uma bola preta muda a cada tirada porque não estamos colocando a bola de volta na urna. Esse cenário é modelado pela distribuição hipergeométrica.
A distribuição hipergeométrica calcula a probabilidade de obter exatamente
sucessos em
tentativas sem reposição, e é dada por:
Onde:
-
é o total de itens (no nosso caso, bolas). -
é o número total de sucessos possíveis (bolas pretas, ). -
é o número de tentativas (extrações). -
é o número de sucessos que queremos (bolas pretas tiradas).
Aplicando isso ao nosso problema:
Resposta
(a) Com reposição:
(b) Sem reposição:
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