Uma urna contém 5 bolas de gude brancas e 3 bolas de gude pretas. (2) Se n bolas de gude são extraídas ao acaso, e Y é o número de bolas de gude pretas, encontre a função de probabilidade de Y.
(a) com reposição;
(b) sem reposição.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma urna que tem 5 bolas de gude brancas e 3 pretas. A gente vai tirar bolas de forma aleatória e representa o número de bolas pretas que a gente tira. Nosso objetivo é encontrar a função de probabilidade de em duas situações:
(a) Com reposição (ou seja, depois de tirar uma bola, a gente coloca de volta na urna antes de tirar a próxima).
(b) Sem reposição (a gente não coloca a bola de volta depois de tirar).
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre distribuições de probabilidade, especificamente a distribuição binomial para o caso com reposição e a distribuição hipergeométrica para o caso sem reposição.

Passo 2

Vamos começar com a parte (a), onde a extração das bolas é feita com reposição.
Quando a gente tem reposição, cada extração é independente das anteriores. Isso significa que a probabilidade de tirar uma bola preta ou branca não muda a cada tirada. Esse cenário é perfeito para usar a distribuição binomial.
Na distribuição binomial, a probabilidade de obter exatamente P(Y = k) = binomnk p^k (1 - p)^n - k sucessos (no caso, bolas pretas) em P(Y = k) = binomnk ( 38 )^k ( 58 )^n - k tentativas é dada por:
Onde:
  • é o número de combinações de itens tomados de cada vez.
  • é a probabilidade de sucesso em uma única tentativa.
  • é a probabilidade de falha.
No nosso caso:
  • Total de bolas: .
  • Probabilidade de tirar uma bola preta ( ): .
  • Probabilidade de tirar uma bola branca ( ): .
Então, a função de probabilidade de é:

Passo 3

Agora, vamos para a parte (b), onde a extração é sem reposição.
Aqui, a probabilidade de tirar uma bola preta muda a cada tirada porque não estamos colocando a bola de volta na urna. Esse cenário é modelado pela distribuição hipergeométrica.
A distribuição hipergeométrica calcula a probabilidade de obter exatamente P(Y = k) = binomKk binomN - Kn - kbinomNn sucessos em P(Y = k) = binom3k binom5n - kbinom8n tentativas sem reposição, e é dada por:
Onde:
  • é o total de itens (no nosso caso, bolas).
  • é o número total de sucessos possíveis (bolas pretas, ).
  • é o número de tentativas (extrações).
  • é o número de sucessos que queremos (bolas pretas tiradas).
Aplicando isso ao nosso problema:

Resposta

(a) Com reposição:
P(Y = k) = binomnk ( 38 )^k ( 58 )^n - k
(b) Sem reposição:
P(Y = k) = binom3k binom5n - kbinom8n

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