Consideremos em o produto interno dado por
Nessas condições, para quais valores de é ortogonal a ? Resp.: 2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente está trabalhando com produtos internos no espaço dos polinômios de grau até 2, que é representado por . O que isso significa? Basicamente, é uma forma de medir “ângulos” entre funções, similar ao que fazemos no espaço vetorial. A gente vai precisar calcular o produto interno entre duas funções específicas para descobrir para quais valores de elas são ortogonais (ou seja, perpendiculares nesse espaço).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa duas funções serem ortogonais. No contexto de produtos internos, duas funções e são ortogonais se o produto interno entre elas for igual a zero. Ou seja:

Passo 3

No nosso caso, as funções são e . O produto interno dado é:
Então, vamos substituir e nessa expressão:

Passo 4

Agora, vamos simplificar essa integral. Primeiro, distribuímos o termo dentro dos parênteses:

Passo 5

Vamos separar a integral em duas partes para facilitar:
Agora, calculamos cada integral individualmente:
  1. Primeira integral:
  1. Segunda integral:

Passo 6

Substituindo os valores das integrais na equação:
Simplificando:

Passo 7

Agora, vamos resolver para :
Multiplicando ambos os lados por 4:

Resposta

O valor de que torna ortogonal a é .

Exercícios relacionados

Seja uma matriz quadrada . Considere as afirmativas abaixo:
- conjunto de linhas de é linearmente independente. II - O núcleo de é diferente de .
(A) Todas são verdadeiras.
(B) Apenas I é verdadeira.
© Apenas II é verdadeira.
(D) Todas são falsas.
(E) Não sei
( 0,5 pontos) Estenda a base de determinada no item a) a uma base do espaço todo. .
Considere a sequência formada pela lei de recorrência . Se , para que valor de temos ?
Dica: defina e note que
Portanto .
(A) 2
(B) 7
© 8
(D) 3
(E) 6
(F) 4
(G) 9
(H) 5
(I) Não sei
Defina Espaço Vetorial.