Consideremos em P2(R) o produto interno dado por
lang<= f(t), g(t)rang<==integral0^1 f(t) g(t) d t
Nessas condições, para quais valores de m in R, f(t)=m t^2-1 é ortogonal a g(t)=t ? Resp.: 2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente está trabalhando com produtos internos no espaço dos polinômios de grau até 2, que é representado por P2(R). O que isso significa? Basicamente, é uma forma de medir “ângulos” entre funções, similar ao que fazemos no espaço vetorial. A gente vai precisar calcular o produto interno entre duas funções específicas para descobrir para quais valores de m elas são ortogonais (ou seja, perpendiculares nesse espaço).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa duas funções serem ortogonais. No contexto de produtos internos, duas funções f(t) e g(t) são ortogonais se o produto interno entre elas for igual a zero. Ou seja:
lang<= f(t), g(t) rang<= = 0

Passo 3

No nosso caso, as funções são f(t) = m t^2 - 1 e g(t) = t. O produto interno dado é:
lang<= f(t), g(t) rang<= = integral0^1 f(t) g(t) , dt
Então, vamos substituir f(t) e g(t) nessa expressão:
integral0^1 (m t^2 - 1) cdot t , dt = 0

Passo 4

Agora, vamos simplificar essa integral. Primeiro, distribuímos o termo t dentro dos parênteses:
integral0^1 (m t^2 cdot t - 1 cdot t) , dt = integral0^1 (m t^3 - t) , dt

Passo 5

Vamos separar a integral em duas partes para facilitar:
m integral0^1 t^3 , dt - integral0^1 t , dt = 0
Agora, calculamos cada integral individualmente:
  1. Primeira integral:
integral t^3 , dt = t^44 |0^1 = 1^44 - 0^44 = 14
  1. Segunda integral:
integral t , dt = t^22 |0^1 = 1^22 - 0^22 = 12

Passo 6

Substituindo os valores das integrais na equação:
m ( 14 ) - ( 12 ) = 0
Simplificando:
m4 - 12 = 0

Passo 7

Agora, vamos resolver para m:
m4 = 12
Multiplicando ambos os lados por 4:
m = 4 cdot 12 = 2

Resposta

O valor de m que torna f(t) ortogonal a g(t) é m = 2.

Exercícios relacionados