Nessas condições, para quais valores de é ortogonal a ? Resp.: 2
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente está trabalhando com produtos internos no espaço dos polinômios de grau até 2, que é representado por . O que isso significa? Basicamente, é uma forma de medir “ângulos” entre funções, similar ao que fazemos no espaço vetorial. A gente vai precisar calcular o produto interno entre duas funções específicas para descobrir para quais valores de elas são ortogonais (ou seja, perpendiculares nesse espaço).
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa duas funções serem ortogonais. No contexto de produtos internos, duas funções e são ortogonais se o produto interno entre elas for igual a zero. Ou seja:
Passo 3
No nosso caso, as funções são e . O produto interno dado é:
Então, vamos substituir e nessa expressão:
Passo 4
Agora, vamos simplificar essa integral. Primeiro, distribuímos o termo dentro dos parênteses:
Passo 5
Vamos separar a integral em duas partes para facilitar:
Agora, calculamos cada integral individualmente:
Primeira integral:
Segunda integral:
integral t , dt = t^22 |0^1 = 1^22 - 0^22 = 12
Passo 6
Substituindo os valores das integrais na equação:
m ( 14 ) - ( 12 ) = 0
Simplificando:
m4 - 12 = 0
Passo 7
Agora, vamos resolver para m:
m4 = 12
Multiplicando ambos os lados por 4:
m = 4 cdot 12 = 2
Resposta
O valor de m que torna f(t) ortogonal a g(t) é m = 2.