Defina Espaço Vetorial.

Passo 1

Beleza! Você quer saber o que é um Espaço Vetorial. Isso está dentro da Álgebra Linear, e pra responder isso, a gente precisa entender o que compõe um espaço vetorial e quais regras ele segue.

Passo 2

Primeiro, um Espaço Vetorial é basicamente um conjunto de objetos chamados vetores. Esses vetores podem ser somados entre si e multiplicados por números chamados escalares, que geralmente são números reais.

Passo 3

Mas não é qualquer soma e multiplicação que vale. Para que esse conjunto com essas operações seja considerado um espaço vetorial, ele precisa seguir certas regras, chamadas de axiomas. Vamos ver quais são esses axiomas.

Passo 4

  1. Fechamento na adição: Se você pegar dois vetores no espaço, a soma deles também está no espaço. Ou seja, se e estão no espaço vetorial, então também está.
  2. Comutatividade da adição: A ordem dos vetores na soma não muda o resultado. Formalmente, .

Passo 5

  1. Associatividade da adição: A forma como você agrupa os vetores na soma não altera o resultado. Ou seja, .
  2. Existência do vetor zero: Existe um vetor especial, chamado vetor zero ( ), que somado a qualquer vetor não muda o vetor. Assim, .

Passo 6

  1. Existência de inversos aditivos: Para cada vetor , existe um vetor tal que .
  2. Fechamento na multiplicação por escalar: Se você multiplicar um vetor por um número (escalar), o resultado também está no espaço vetorial. Se é um escalar e está no espaço, então também está.

Passo 7

  1. Distributividade do escalar em relação à adição vetorial: Multiplicar um escalar pela soma de dois vetores é igual a soma das multiplicações do escalar por cada vetor. Formalmente, .
  2. Distributividade do escalar em relação à adição de escalares: A soma de dois escalares multiplicada por um vetor é igual à soma das multiplicações de cada escalar pelo vetor. Ou seja, .

Passo 8

  1. Associatividade da multiplicação por escalar: Multiplicar um escalar por outro antes de multiplicar pelo vetor é o mesmo que multiplicar os dois escalar juntos e depois multiplicar pelo vetor. Matemáticamente, .
  2. Elemento neutro da multiplicação por escalar: Multiplicar um vetor por 1 (o elemento neutro dos escalares) não altera o vetor. Assim, .

Resposta

Então, resumindo, um Espaço Vetorial é um conjunto de vetores que pode ser somado e multiplicado por escalares, seguindo todos esses axiomas que garantem que as operações funcionem de maneira consistente e previsível.

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Considere a sequência formada pela lei de recorrência . Se , para que valor de temos ?
Dica: defina e note que
Portanto .
(A) 2
(B) 7
© 8
(D) 3
(E) 6
(F) 4
(G) 9
(H) 5
(I) Não sei
Consideremos em o produto interno dado por
Nessas condições, para quais valores de é ortogonal a ? Resp.: 2
Sejam , em que é um espaço vetorial euclidiano. Prove que
é
Resp.: Use as definições.
Seja um espaço euclidiano. Prove as seguintes afirmações:
(d) e