Defina Espaço Vetorial.
Passo 1
Beleza! Você quer saber o que é um Espaço Vetorial. Isso está dentro da Álgebra Linear, e pra responder isso, a gente precisa entender o que compõe um espaço vetorial e quais regras ele segue.
Passo 2
Primeiro, um Espaço Vetorial é basicamente um conjunto de objetos chamados vetores. Esses vetores podem ser somados entre si e multiplicados por números chamados escalares, que geralmente são números reais.
Passo 3
Mas não é qualquer soma e multiplicação que vale. Para que esse conjunto com essas operações seja considerado um espaço vetorial, ele precisa seguir certas regras, chamadas de axiomas. Vamos ver quais são esses axiomas.
Passo 4
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Fechamento na adição: Se você pegar dois vetores no espaço, a soma deles também está no espaço. Ou seja, se
e estão no espaço vetorial, então também está. -
Comutatividade da adição: A ordem dos vetores na soma não muda o resultado. Formalmente,
.
Passo 5
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Associatividade da adição: A forma como você agrupa os vetores na soma não altera o resultado. Ou seja,
. -
Existência do vetor zero: Existe um vetor especial, chamado vetor zero (
), que somado a qualquer vetor não muda o vetor. Assim, .
Passo 6
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Existência de inversos aditivos: Para cada vetor
, existe um vetor tal que . -
Fechamento na multiplicação por escalar: Se você multiplicar um vetor por um número (escalar), o resultado também está no espaço vetorial. Se
é um escalar e está no espaço, então também está.
Passo 7
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Distributividade do escalar em relação à adição vetorial: Multiplicar um escalar pela soma de dois vetores é igual a soma das multiplicações do escalar por cada vetor. Formalmente,
. -
Distributividade do escalar em relação à adição de escalares: A soma de dois escalares multiplicada por um vetor é igual à soma das multiplicações de cada escalar pelo vetor. Ou seja,
.
Passo 8
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Associatividade da multiplicação por escalar: Multiplicar um escalar por outro antes de multiplicar pelo vetor é o mesmo que multiplicar os dois escalar juntos e depois multiplicar pelo vetor. Matemáticamente,
. -
Elemento neutro da multiplicação por escalar: Multiplicar um vetor por 1 (o elemento neutro dos escalares) não altera o vetor. Assim,
.
Resposta
Então, resumindo, um Espaço Vetorial é um conjunto de vetores que pode ser somado e multiplicado por escalares, seguindo todos esses axiomas que garantem que as operações funcionem de maneira consistente e previsível.