Defina Espaço Vetorial.
Passo 1
Beleza! Você quer saber o que é um Espaço Vetorial. Isso está dentro da Álgebra Linear, e pra responder isso, a gente precisa entender o que compõe um espaço vetorial e quais regras ele segue.
Passo 2
Primeiro, um Espaço Vetorial é basicamente um conjunto de objetos chamados vetores. Esses vetores podem ser somados entre si e multiplicados por números chamados escalares, que geralmente são números reais.
Passo 3
Mas não é qualquer soma e multiplicação que vale. Para que esse conjunto com essas operações seja considerado um espaço vetorial, ele precisa seguir certas regras, chamadas de axiomas. Vamos ver quais são esses axiomas.
Passo 4
-
Fechamento na adição: Se você pegar dois vetores no espaço, a soma deles também está no espaço. Ou seja, se
e estão no espaço vetorial, então também está. -
Comutatividade da adição: A ordem dos vetores na soma não muda o resultado. Formalmente,
.
Passo 5
-
Associatividade da adição: A forma como você agrupa os vetores na soma não altera o resultado. Ou seja,
. -
Existência do vetor zero: Existe um vetor especial, chamado vetor zero (
), que somado a qualquer vetor não muda o vetor. Assim, .
Passo 6
-
Existência de inversos aditivos: Para cada vetor
, existe um vetor tal que . -
Fechamento na multiplicação por escalar: Se você multiplicar um vetor por um número (escalar), o resultado também está no espaço vetorial. Se
é um escalar e está no espaço, então também está.
Passo 7
-
Distributividade do escalar em relação à adição vetorial: Multiplicar um escalar pela soma de dois vetores é igual a soma das multiplicações do escalar por cada vetor. Formalmente,
. -
Distributividade do escalar em relação à adição de escalares: A soma de dois escalares multiplicada por um vetor é igual à soma das multiplicações de cada escalar pelo vetor. Ou seja,
.
Passo 8
-
Associatividade da multiplicação por escalar: Multiplicar um escalar por outro antes de multiplicar pelo vetor é o mesmo que multiplicar os dois escalar juntos e depois multiplicar pelo vetor. Matemáticamente,
. -
Elemento neutro da multiplicação por escalar: Multiplicar um vetor por 1 (o elemento neutro dos escalares) não altera o vetor. Assim,
.
Resposta
Então, resumindo, um Espaço Vetorial é um conjunto de vetores que pode ser somado e multiplicado por escalares, seguindo todos esses axiomas que garantem que as operações funcionem de maneira consistente e previsível.
Exercícios relacionados
Considere a sequência formada pela lei de recorrência
. Se
, para que valor de
temos
?
Dica: defina e note que
Dica: defina
Portanto
.
(A) 2
(B) 7
© 8
(D) 3
(E) 6
(F) 4
(G) 9
(H) 5
(I) Não sei
(A) 2
(B) 7
© 8
(D) 3
(E) 6
(F) 4
(G) 9
(H) 5
(I) Não sei
Consideremos em
o produto interno dado por
Nessas condições, para quais valores de
é ortogonal a
? Resp.: 2
Sejam
, em que
é um espaço vetorial euclidiano. Prove que
é
Resp.: Use as definições.
Resp.: Use as definições.
Seja
um espaço euclidiano. Prove as seguintes afirmações:
(d) e
(d)