Considere a sequência formada pela lei de recorrência . Se , para que valor de temos ?
Dica: defina e note que
Portanto .
(A) 2
(B) 7
© 8
(D) 3
(E) 6
(F) 4
(G) 9
(H) 5
(I) Não sei

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma sequência definida por uma lei de recorrência: para . Nosso objetivo é encontrar o valor de tal que o limite de quando vai para o infinito seja zero. Para resolver isso, vamos usar conceitos de matrizes e autovalores da matéria de Álgebra Linear.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar nossa sequência em vetores para facilitar o trabalho. Definimos . Isso transforma a recorrência em um sistema de equações matriciais, onde cada passo depende do anterior.

Passo 3

A relação de recorrência pode ser escrita como:
Essa matriz mostra como a sequência evolui de um passo para o outro. Nosso próximo passo é analisar essa matriz para entender o comportamento da sequência.

Passo 4

Para entender quando , precisamos analisar os autovalores da matriz de transformação . Os autovalores nos dizem se a sequência vai crescer, decair ou oscilar.

Passo 5

Vamos encontrar os autovalores resolvendo a equação característica:
Calculando o determinante:
Simplificando:

Passo 6

Vamos resolver a equação quadrática:
Então, os autovalores são:

Passo 7

Para que , precisamos que todos os termos da sequência multipliquem por um fator cujo valor absoluto é menor que 1. Aqui, vemos que é maior que 1, o que faria a sequência crescer à moda, a menos que o componente associado a esse autovalor seja zero.
Isso significa que precisamos escolher de forma que o coeficiente do autovalor 6 seja zero. Ou seja, a combinação linear dos autovalores deve cancelar o termo com .

Passo 8

Usando os autovalores, a solução geral da recorrência é:
Para que , precisamos que .
Sabemos que:
Como , temos:
Então:

Resposta

O valor de que faz com que é 3.

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Consideremos em o produto interno dado por
Nessas condições, para quais valores de é ortogonal a ? Resp.: 2
Seja uma matriz quadrada . Considere as afirmativas abaixo:
- conjunto de linhas de é linearmente independente. II - O núcleo de é diferente de .
(A) Todas são verdadeiras.
(B) Apenas I é verdadeira.
© Apenas II é verdadeira.
(D) Todas são falsas.
(E) Não sei
Defina Espaço Vetorial.
Sejam , em que é um espaço vetorial euclidiano. Prove que
é
Resp.: Use as definições.