Considere a sequência formada pela lei de recorrência xn+2=-2 xn+193 xn+1, n=1,2,3, ldots. Se x1=9, para que valor de x2 temos lim n infty xn=0 ?
Dica: defina vn=[cxn xn+1] e note que
vn+1=[rr 0 & 1 -2 & 19 / 3 ] vn para n=1,2,3, ldots
Portanto vn+1=[rr0 & 1 -2 & 19 / 3]^n v1.
(A) 2
(B) 7
© 8
(D) 3
(E) 6
(F) 4
(G) 9
(H) 5
(I) Não sei

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma sequência definida por uma lei de recorrência: para . Nosso objetivo é encontrar o valor de tal que o limite de quando vai para o infinito seja zero. Para resolver isso, vamos usar conceitos de matrizes e autovalores da matéria de Álgebra Linear.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar nossa sequência em vetores para facilitar o trabalho. Definimos xn xn+1 . Isso transforma a recorrência em um sistema de equações matriciais, onde cada passo depende do anterior.

Passo 3

A relação de recorrência pode ser escrita como:
vn+1 = 0 & 1 -2 & 193 vn
Essa matriz mostra como a sequência evolui de um passo para o outro. Nosso próximo passo é analisar essa matriz para entender o comportamento da sequência.

Passo 4

Para entender quando 0 & 1 -2 & 193 , precisamos analisar os autovalores da matriz de transformação . Os autovalores nos dizem se a sequência vai crescer, decair ou oscilar.

Passo 5

Vamos encontrar os autovalores resolvendo a equação característica:
det(A - lambda I) = 0
Calculando o determinante:
-lambda & 1 -2 & 193 - lambda = (-lambda)(193 - lambda) - (1)(-2) = 0
Simplificando:
-lambda cdot 193 + lambda^2 + 2 = 0 Rightarrow lambda^2 - 193lambda + 2 = 0

Passo 6

Vamos resolver a equação quadrática:
lambda = 193 pm raiz(193)^2 - 82 = 193 pm raiz3619 - 7292 = 193 pm raiz28992 = 193 pm 1732
Então, os autovalores são:
lambda1 = 19 + 176 = 366 = 6 e lambda2 = 19 - 176 = 26 = 13

Passo 7

Para que , precisamos que todos os termos da sequência multipliquem por um fator cujo valor absoluto é menor que 1. Aqui, vemos que é maior que 1, o que faria a sequência crescer à moda, a menos que o componente associado a esse autovalor seja zero.
Isso significa que precisamos escolher de forma que o coeficiente do autovalor 6 seja zero. Ou seja, a combinação linear dos autovalores deve cancelar o termo com .

Passo 8

Usando os autovalores, a solução geral da recorrência é:
xn = C1 (6)^n + C2 (13)^n
Para que x1 = 9 = C1 (6)^1 + C2 (13)^1 = 6C1 + 13C2 , precisamos que x2 = C1 (6)^2 + C2 (13)^2 = 36C1 + 19C2 .
Sabemos que:
x1 = 13C2 Rightarrow C2 = 27
x2 = 19 times 27 = 3
Como , temos:
Então:

Resposta

O valor de que faz com que é 3.

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