Beleza, vamos lá! A gente tem uma sequência definida por uma lei de recorrência: para . Nosso objetivo é encontrar o valor de tal que o limite de quando vai para o infinito seja zero. Para resolver isso, vamos usar conceitos de matrizes e autovalores da matéria de Álgebra Linear.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar nossa sequência em vetores para facilitar o trabalho. Definimos . Isso transforma a recorrência em um sistema de equações matriciais, onde cada passo depende do anterior.
Passo 3
A relação de recorrência pode ser escrita como:
Essa matriz mostra como a sequência evolui de um passo para o outro. Nosso próximo passo é analisar essa matriz para entender o comportamento da sequência.
Passo 4
Para entender quando , precisamos analisar os autovalores da matriz de transformação . Os autovalores nos dizem se a sequência vai crescer, decair ou oscilar.
Passo 5
Vamos encontrar os autovalores resolvendo a equação característica:
Calculando o determinante:
Simplificando:
Passo 6
Vamos resolver a equação quadrática:
Então, os autovalores são:
Passo 7
Para que , precisamos que todos os termos da sequência multipliquem por um fator cujo valor absoluto é menor que 1. Aqui, vemos que é maior que 1, o que faria a sequência crescer à moda, a menos que o componente associado a esse autovalor seja zero.
Isso significa que precisamos escolher de forma que o coeficiente do autovalor 6 seja zero. Ou seja, a combinação linear dos autovalores deve cancelar o termo com .
Passo 8
Usando os autovalores, a solução geral da recorrência é: