Esboce a curva dada pela equação:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente esboçar a curva da equação:
. Isso está relacionado ao estudo de Cônicas na matemática, que inclui elipses, hipérboles e parábolas. Para resolver isso, precisamos reorganizar a equação e completarmos os quadrados para identificar que tipo de curva estamos lidando e suas características principais.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação agrupando os termos de
e de
:
Passo 3
Agora, vamos completar os quadrados para os termos de
e de
. Antes disso, é bom fatorar os coeficientes dos termos quadráticos:
Para os termos de
:
Para os termos de
:
Passo 4
Vamos completar o quadrado dentro dos parênteses.
Para
:
Aqui, pegamos metade do coeficiente de
, que é 10/2 = 5, e depois elevamos ao quadrado:
.
Então:
Então:
Para
:
Metade de -2 é -1, e ao quadrado fica 1:
Passo 5
Substituindo de volta na equação:
Distribuindo os coeficientes:
Passo 6
Agora, vamos trazer os termos constantes para o lado direito:
Passo 7
Para deixar a equação na forma padrão, vamos dividir tudo por 400:
Simplificando as frações:
Passo 8
Agora, reconhecemos a forma padrão da hipérbole:
Comparando com nossa equação:
- Centro em
-
então -
então
Passo 9
Com essas informações, podemos esboçar a hipérbole:
- Centro em
- Eixos transverso e conjugado de comprimento
e respectivamente. - A hipérbole abre para a direita e para a esquerda, já que o termo de
é positivo.
Resposta
A curva é uma hipérbole com centro em
, que abre horizontalmente (para a direita e para a esquerda), com semi-eixo transverso de 4 unidades e semi-eixo conjugado de 5 unidades. O esboço deve refletir essas características.