Esboce a curva dada pela equação: 25 x^2+250 x-16 y^2+32 y+209=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente esboçar a curva da equação: . Isso está relacionado ao estudo de Cônicas na matemática, que inclui elipses, hipérboles e parábolas. Para resolver isso, precisamos reorganizar a equação e completarmos os quadrados para identificar que tipo de curva estamos lidando e suas características principais.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação agrupando os termos de 25x^2 + 250x -16y^2 +32y = -209 e de :

Passo 3

Agora, vamos completar os quadrados para os termos de 25x^2 + 250x = 25(x^2 + 10x) e de -16y^2 +32y = -16(y^2 - 2y). Antes disso, é bom fatorar os coeficientes dos termos quadráticos:
Para os termos de :
Para os termos de :

Passo 4

Vamos completar o quadrado dentro dos parênteses.
Para x^2 + 10x:
x^2 + 10x + 25 -25 = (x + 5)^2 -25
Aqui, pegamos metade do coeficiente de y^2 - 2y, que é 10/2 = 5, e depois elevamos ao quadrado: y^2 - 2y +1 -1 = (y -1)^2 -1.
Então:
Para :
Metade de -2 é -1, e ao quadrado fica 1:

Passo 5

Substituindo de volta na equação:
25[(x + 5)^2 -25] -16[(y -1)^2 -1] = -209
Distribuindo os coeficientes:
25(x + 5)^2 -625 -16(y -1)^2 +16 = -209

Passo 6

Agora, vamos trazer os termos constantes para o lado direito:
25(x + 5)^2 -16(y -1)^2 = -209 +625 -16
25(x + 5)^2 -16(y -1)^2 = 400

Passo 7

Para deixar a equação na forma padrão, vamos dividir tudo por 400:
25(x + 5)^2400 - 16(y -1)^2400 = 1
Simplificando as frações:
(x + 5)^216 - (y -1)^225 = 1

Passo 8

Agora, reconhecemos a forma padrão da hipérbole:
(x - h)^2a^2 - (y - k)^2b^2 = 1
Comparando com nossa equação:
  • Centro em
  • então
  • então

Passo 9

Com essas informações, podemos esboçar a hipérbole:
  • Centro em
  • Eixos transverso e conjugado de comprimento e respectivamente.
  • A hipérbole abre para a direita e para a esquerda, já que o termo de é positivo.

Resposta

A curva é uma hipérbole com centro em , que abre horizontalmente (para a direita e para a esquerda), com semi-eixo transverso de 4 unidades e semi-eixo conjugado de 5 unidades. O esboço deve refletir essas características.

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