Constante elétrica no ar: K=9.109 N.m²/C². Uma esfera condutora de raio igual a 1,6 cm, inicialmente neutra, tem massa igual a 2,13225 g quando medida numa balança eletrônica digital de grande precisão.
a) Qual a menor quantidade de elétrons que seria necessário fornecer a esta esfera para que a balança pudesse registrar o respectivo acréscimo de massa? Desprezar eventuais interações elétricas com outros corpos.
b) Supondo a esfera neutra, que quantidade de elétrons deve ser retirada desta esfera para que o potencial elétrico em seu interior seja de 0,90 volts? Dados: massa do elétron ≈ 1,0 × 10⁻³¹ kg, carga do elétron = 1,6 × 10⁻¹⁹ C.
a) Qual a menor quantidade de elétrons que seria necessário fornecer a esta esfera para que a balança pudesse registrar o respectivo acréscimo de massa? Desprezar eventuais interações elétricas com outros corpos.
b) Supondo a esfera neutra, que quantidade de elétrons deve ser retirada desta esfera para que o potencial elétrico em seu interior seja de 0,90 volts? Dados: massa do elétron ≈ 1,0 × 10⁻³¹ kg, carga do elétron = 1,6 × 10⁻¹⁹ C.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre uma esfera condutora inicialmente neutra com raio de 1,6 cm e massa de 2,13225 g. A gente precisa usar conceitos de eletricidade estática, como carga elétrica e massa, para descobrir quantos elétrons são adicionados ou retirados da esfera. Vamos precisar lembrar de fórmulas que relacionam carga, massa e potencial elétrico.
Passo 2
Primeiro, vamos para a parte (a). Queremos saber a menor quantidade de elétrons que, ao serem adicionados à esfera, fazem com que a balança registre um aumento na massa. Como os elétrons têm massa, adicionar alguns vai aumentar a massa total da esfera.
Passo 3
Sabemos que a massa de um elétron é aproximadamente $ m_e = 1,0 \times 10^{-31} $ kg. Para que a balança detecte um aumento na massa, consideramos a menor massa que a balança pode medir, mas como isso não foi dado, vamos simplesmente considerar a massa de um elétron.
Passo 4
Como queremos a menor quantidade de elétrons, vamos assumir que adicionar apenas um elétron já aumentaria a massa da esfera. Então, a quantidade mínima de elétrons necessários é 1.
Passo 5
Agora, para a parte (b), a esfera está neutra inicialmente e queremos retirar elétrons para que o potencial elétrico interno seja de 0,90 volts. Precisamos relacionar carga, potencial e raio da esfera.
Passo 6
A fórmula para o potencial elétrico $ V $ de uma esfera condutora é:
onde $ K $ é a constante elétrica, $ Q $ é a carga e $ R $ é o raio da esfera.
Passo 7
Queremos que $ V = 0,90 $ volts, então rearranjamos a fórmula para encontrar $ Q $:
O raio $ R = 1,6 $ cm = 0,016 m, e $ K = 9,109 $ N.m²/C².
Passo 8
Substituindo os valores na fórmula:
Passo 9
Agora, para achar a quantidade de elétrons, usamos que a carga de um elétron é $ e = 1,6 \times 10^{-19} $ C. Como estamos retirando elétrons, a carga total será negativa, mas estamos interessados na quantidade.
Resposta
a) É necessário adicionar pelo menos 1 elétron para que a balança registre um aumento na massa.
b) Devem ser retirados aproximadamente $ 9,875 \times 10^{15} $ elétrons para que o potencial elétrico interno da esfera seja de 0,90 volts.