A equação diferencial
d^2 xd t^2+omega^2 x(t)=0
apresenta como solução geral x(t)=c1 e^i omega t+c2 e^-i omega t. Mostre que x(t) pode ser reescrita como:
x(t)=c3 cos omega t+c4 sen omega t
Outras formas de representar a solução dessa equação é através das equações 3 e 4. Mostre que as equações 2 , 3 e 4 são equivalentes e obtenha equações para A e phi em termos de с3, с4 e para B e psi em termos de c3, c4.
& x(t)=A sen(omega t+phi) & x(t)=B cos (omega t+psi)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de segunda ordem:
d^2 xd t^2 + omega^2 x(t) = 0
Esse tipo de equação aparece em física quando falamos de movimentos harmônicos, tipo um pêndulo ou uma mola. A gente vai precisar usar soluções de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes e entender como reescrever expressões complexas usando funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a solução geral da equação, que é:
x(t) = c1 e^i omega t + c2 e^-i omega t
Aqui, c1 e c2 são constantes que determinam as condições iniciais. Como estamos lidando com números complexos por causa do i, queremos reescrever isso usando funções reais como seno e cosseno.

Passo 3

Sabemos que, usando a fórmula de Euler, podemos expressar e^i omega t e e^-i omega t em termos de seno e cosseno:
e^i omega t = cos omega t + i sin omega t
e^-i omega t = cos omega t - i sin omega t
Então, substituindo na solução geral:
x(t) = c1 (cos omega t + i sin omega t) + c2 (cos omega t - i sin omega t)

Passo 4

Agora, vamos juntar os termos semelhantes:
x(t) = (c1 + c2) cos omega t + (c1i - c2i) sin omega t
Podemos escrever isso de forma mais simples definindo novas constantes:
c3 = c1 + c2
c4 = i (c1 - c2)
Então temos:
x(t) = c3 cos omega t + c4 sin omega t

Passo 5

Agora, queremos mostrar que as outras formas de escrever a solução são equivalentes. Vamos considerar:
x(t) = A sin(omega t + phi)
x(t) = B cos(omega t + psi)
Essas expressões usam amplitude e fase para descrever o movimento.

Passo 6

Para mostrar a equivalência, precisamos usar as identidades trigonométricas de adição:
sin(omega t + phi) = sin omega t cos phi + cos omega t sin phi
cos(omega t + psi) = cos omega t cos psi - sin omega t sin psi

Passo 7

Comparando com nossa forma anterior x(t) = c3 cos omega t + c4 sin omega t, podemos identificar:
Para a expressão com seno:
A sin(omega t + phi) = A cos phi sin omega t + A sin phi cos omega t
Então:
c3 = A sin phi
c4 = A cos phi
Resolvendo para A e phi:
A = raizc3^2 + c4^2
phi = arctan(c3c4)

Passo 8

Para a expressão com cosseno:
B cos(omega t + psi) = B cos psi cos omega t - B sin psi sin omega t
Comparando com x(t) = c3 cos omega t + c4 sin omega t, temos:
c3 = B cos psi
c4 = -B sin psi
Resolvendo para B e psi:
B = raizc3^2 + c4^2
psi = arctan(-c4c3)

Resposta

Mostramos que todas as formas da solução são equivalentes e obtivemos:
Para A e phi em termos de c3 e c4:
A = raizc3^2 + c4^2
phi = arctan(c3c4)
Para B e psi em termos de c3 e c4:
B = raizc3^2 + c4^2
psi = arctan(-c4c3)

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