A equação diferencial
apresenta como solução geral
. Mostre que
pode ser reescrita como:
Outras formas de representar a solução dessa equação é através das equações 3 e 4. Mostre que as equações 2 , 3 e 4 são equivalentes e obtenha equações para A e
em termos de с3, с4 e para B e
em termos de c3, c4.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de segunda ordem:
Esse tipo de equação aparece em física quando falamos de movimentos harmônicos, tipo um pêndulo ou uma mola. A gente vai precisar usar soluções de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes e entender como reescrever expressões complexas usando funções trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a solução geral da equação, que é:
Aqui,
e
são constantes que determinam as condições iniciais. Como estamos lidando com números complexos por causa do
, queremos reescrever isso usando funções reais como seno e cosseno.
Passo 3
Sabemos que, usando a fórmula de Euler, podemos expressar
e
em termos de seno e cosseno:
Então, substituindo na solução geral:
Passo 4
Agora, vamos juntar os termos semelhantes:
Podemos escrever isso de forma mais simples definindo novas constantes:
Então temos:
Passo 5
Agora, queremos mostrar que as outras formas de escrever a solução são equivalentes. Vamos considerar:
Essas expressões usam amplitude e fase para descrever o movimento.
Passo 6
Para mostrar a equivalência, precisamos usar as identidades trigonométricas de adição:
Passo 7
Comparando com nossa forma anterior
, podemos identificar:
Para a expressão com seno:
Então:
Resolvendo para
e
:
Passo 8
Para a expressão com cosseno:
Comparando com
, temos:
Resolvendo para
e
:
Resposta
Mostramos que todas as formas da solução são equivalentes e obtivemos:
Para
e
em termos de
e
:
Para
e
em termos de
e
: