A constante pré-exponencial e a energia de ativação
w. para a difusão do cromo no níquel são de 1,1 times 10^-4 m^2 / s e 272.000 J / mol, respectivamente. Em qual temperatura o coeficiente de difusão irá possuir um valor de 1,2 times 10^-14 m^2 / s?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício sobre difusão do cromo no níquel. O que isso quer dizer é que estamos analisando como o cromo se move dentro do níquel a uma certa temperatura. A gente vai usar a equação de Arrhenius, que é uma ferramenta importante na física e química para entender como a temperatura afeta processos como a difusão. Precisamos dos valores da constante pré-exponencial, da energia de ativação e do coeficiente de difusão que queremos encontrar a temperatura.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a equação de Arrhenius para difusão, que é assim:
D = D0 times e^-QR times T
  • $ D $ é o coeficiente de difusão que a gente quer encontrar.
  • $ D_0 $ é a constante pré-exponencial, que já foi dada.
  • $ Q $ é a energia de ativação, também fornecida.
  • $ R $ é a constante dos gases, que vale aproximadamente $ 8,314 , J/mol·K $.
  • $ T $ é a temperatura em Kelvin, que é o que precisamos descobrir.

Passo 3

Vamos organizar os valores que a gente tem:
  • $ D_0 = 1,1 \times 10^{-4} , m^2/s $
  • $ Q = 272.000 , J/mol $
  • $ D = 1,2 \times 10^{-14} , m^2/s $
  • $ R = 8,314 , J/mol·K $

Passo 4

Nosso objetivo é encontrar $ T $. Então, vamos isolar $ T $ na equação de Arrhenius. Primeiro, dividimos os dois lados por $ D_0 $:
T

Passo 5

Agora, vamos aplicar o logaritmo natural nos dois lados para tirar o expoente:
ln(DD0) = -QR times T

Passo 6

Vamos resolver para $ T $. Primeiro, multiplicamos ambos os lados por $ -1 $:
T
Agora, isolamos $ T $:
-1
Note que inverti $ D/D_0 $ para $ D_0/D $ dentro do logaritmo para manter o valor positivo.

Passo 7

Vamos inserir os valores na fórmula:
T = 272.0008,314 times ln(1,1 times 10^-41,2 times 10^-14)

Passo 8

Primeiro, calculamos a razão dentro do logaritmo:
1,1 times 10^-41,2 times 10^-14 = 1,11,2 times 10^10 approx 0,9167 times 10^10 = 9,167 times 10^9

Passo 9

Agora, calculamos o logaritmo natural desse valor:
ln(9,167 times 10^9) = ln(9,167) + ln(10^9) approx 2,218 + 20,723 = 22,941

Passo 10

Por fim, substituímos na fórmula de $ T $:
T

Resposta

A temperatura necessária é aproximadamente 1.427 K.

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